线性代数——向量组的线性相关性
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数——向量组的线性相关性相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。
前言
- 重点：向量和矩阵的相似性导致我在学习过程中掉以轻心，从而学的懵懵懂懂，以至于再重新返工，如果矩阵作为线代的入门，那么向量就是线代承前启后的最重要的节点，因此一定要弄清楚向量的所有概念，否则也避免不了反工。
- 向量的写法：向量可以使用小括号、中括号和大括号包裹，三种方式均可。
- 向量和向量组：分清楚向量和向量组，这一点至关重要。
- 向量和矩阵：务必分清这两者的区别和联系。
向量和向量组
由
n
n
n个数
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
a_1,a_2,\\dots,a_n
a1,a2,…,an构成的有序集合称为
n
n
n维向量，记为：
[
a
1
a
2
…
a
n
]
(
行向量
)
[
a
1
a
2
…
a
n
]
(
列向量
)
T
\\beginbmatrix a_1&a_2&\\dots&a_n \\endbmatrix_(行向量)\\\\ \\beginbmatrix a_1&a_2&\\dots&a_n \\endbmatrix^T_(列向量)
[a1a2…an](行向量)[a1a2…an](列向量)T
其中
a
i
a_i
ai称为向量的第
i
i
i个分量
(
i
=
1
,
2
,
…
,
n
)
(i=1,2,\\dots,n)
(i=1,2,…,n)，如果向量的所有分量都是
0
0
0，就称其为零向量，记作
O
=
[
0
,
0
,
…
,
0
]
O=[0,0,\\dots,0]
O=[0,0,…,0]
设 n n n维向量 α = [ a 1 , a 2 , … , a n ] , β = [ b , b 2 , … , b n ] \\alpha=[a_1,a_2,\\dots,a_n],\\beta=[b_,b_2,\\dots,b_n] α=[a1,a2,…,an],β=[b,b2,…,bn]，则：
- α = β ⇔ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , … , a n = b n \\alpha=\\beta\\Leftrightarrow a_1=b_1,a_2=b_2,\\dots,a_n=b_n α=β⇔a1=b1,a2=b2,…,an=bn
- 向量加法： α + β = [ a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ] \\alpha+\\beta=[a_1+b_1,a_2+b_2,\\dots,a_n+b_n] α+β=[a1+b1,a2+b2,…,an+bn]
- 数乘向量： k α = [ k a 1 , k a 2 , … , k a n ] k\\alpha=[ka_1,ka_2,\\dots,ka_n] kα=[ka1,ka2,…,kan]
- 向量内积： α β = α T β = β T α = a 1 b 1 + a 2 b 2 , + ⋯ + a n b n \\alpha \\beta=\\alpha^T\\beta=\\beta^T\\alpha=a_1b_1+a_2b_2,+\\dots+a_nb_n αβ=αTβ=βTα=a1b1+a2b2,+⋯+anbn
n n n个同维数的向量组成的有序集合称为向量组。
向量组的线性表示
设
n
n
n维向量组
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
\\alpha_1,\\alpha_2,\\dots,\\alpha_n
α1,α2,…,αn和
n
n
n个实数
k
1
,
k
2
,
…
,
k
n
k_1,k_2,\\dots,k_n
k1,k2,…,kn，称
k
1
α
1
,
+
k
2
α
2
+
⋯
+
k
n
α
n
k_1\\alpha_1,+k_2\\alpha_2+\\dots+k_n\\alpha_n
k1α1,+k2α2+⋯+knαn
是向量组
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
\\alpha_1,\\alpha_2,\\dots,\\alpha_n
α1线性方程组——向量组的秩
n维向量相关概念
n
n
n 维向量是指由数域
F
F
F中的n个数
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}
a1,a2,⋯,an 构成的有序数组
(
a
1
,
a
2
⋯
a
n
)
\\left(a_{1}, a_{2} \\cdots a_{n}\\right)
(a1,a2⋯an).
注1: 向量常用小写希腊字母
α
,
β
,
γ
,
\\quad \\alpha, \\beta, \\gamma,
α,β,γ, 来表示;
注2: 向量通常写成一行
α
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
\\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right)
α=(a1,a2,⋯,an) 称之为行向量;
向量有时也写成一列 α = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \\alpha=\\left(\\begin{array}{c}a_{1} \\\\ a_{2} \\\\ \\vdots \\\\ a_{n}\\end{array}\\right) α=⎝⎜⎜⎜⎛a1a2⋮an⎠⎟⎟⎟⎞ 称之为列向量.
2、向量的相等
如果
n
n
n 维向量
α
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
,
β
=
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
\\quad \\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right), \\beta=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right)
α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn)的对应分量皆相等，即
a
i
=
b
i
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
a_{i}=b_{i}, \\quad i=1,2, \\cdots, n
ai=bi,i=1,2,⋯,n
则称向量
α
\\alpha
α 与
β
\\beta
β 相等，记作
α
=
β
.
\\alpha=\\beta .
α=β.
3、特殊的向量
零向量：分量全为零的向量称为零向量，记作0. 即
0
=
(
0
,
0
,
…
,
0
)
0=\\left(\\begin{array}{llll} 0, & 0, & \\ldots, & 0 \\end{array}\\right)
0=(0,0,…,0)
负向量: 向量
(
−
a
1
,
−
a
2
,
⋯
,
−
a
n
)
\\left(-a_{1},-a_{2}, \\cdots,-a_{n}\\right)
(−a1,−a2,⋯,−an) 称为向量
α
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
\\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right)
α=(a1,a2,⋯,an)的负向量，记作-
α
\\alpha
α.
线性运算:
设
α
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
,
β
=
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
,
k
\\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right), \\quad \\beta=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right), \\quad k
α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn),k 为数域
F
F
F 中的数
α
+
β
=
(
a
1
+
b
1
,
a
2
+
b
2
,
⋯
,
a
n
+
b
n
)
\\alpha+\\beta=\\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \\cdots, a_{n}+b_{n}\\right)
α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)
称
α
+
β
\\alpha+\\beta
α+β 为向量
α
\\alpha
α 与
β
\\beta
β 的和
k
α
=
(
k
a
1
,
k
a
2
,
⋯
,
k
a
n
)
k \\alpha=\\left(k a_{1}, k a_{2}, \\cdots, k a_{n}\\right)
kα=(ka1,ka2,⋯,kan)
称
k
α
k \\alpha
kα 为向量
α
\\alpha
α 与数
k
k
k 的数量乘积
向量运算的基本性质
-
α + β = β + α \\quad \\alpha+\\beta=\\beta+\\alpha 线性代数——向量组的线性相关性
机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（11）：向量组的线性相关性