白话“卡方检验”

Posted 2023-04-07

参考技术A

卡方检验是假设检验的一种， 用于分析两个类别变量的相关关系 ，是一种非参数假设检验，得出的结论无非就是“两个变量相关”或者“两个变量”不相关，所以有的教材上又叫“独立性检验”。如果不是很清楚“假设检验”的朋友们，就要好好翻一下本科阶段《概率论与数理统计》的教材了。

关于假设检验的关键字有：总体、样本、点估计、区间估计、显著性水平、置信区间、统计量、枢轴量、分位点、三大分布、中心极限定理（明确正态分布的重要地位）、抽样分布定理。
如果这些关键字你还比较生疏的话，可以翻翻本科的《概率论与数理统计》教材，在“数理统计”部分，你可以找到它们。

它的流程基本是这样的：我感觉变量 A 和变量 B 存在相关关系，于是我提出假设“变量 A 和变量 B 存在相关关系”，然后我要用严格的数学方法证明“变量 A 和变量 B 存在相关关系”这个假设成立。

类别变量就是取值为离散值的变量，“性别”就是一个类别变量，它的取值只有“男”和“女”，类似还有”婚否“、”国籍“等。

以我们熟知的 Kaggle 平台上的泰坦尼克号幸存者预测提供的数据为例，”性别“对于”是否幸存“的关系研究，就属于这方面的内容。研究表明，泰坦尼克号上的乘客秉承”女士优先，照顾弱势群体“的基本原则，因此女性幸存的概率比男性要大，这就说明，”性别“对于”是否幸存“有相关关系，我们后面会使用卡方检验来验证这一事实。

假设检验，顾名思义，就是提出一个假设，然后检验你提出的假设是否正确。假设检验的流程其实是固定的，关键其实在于理解假设检验的设计原则。

这里说一句题外话，“提出假设，然后证明假设”其实我们一点都不陌生，人类探索未知事物、真理用的都是这个思路。聪明的祖先根据经验和直觉，提出一个猜想，然后再用严格的理论去论证这个猜想，例如我们熟知的“万有引力定律”、“地球是圆的”，这些说法刚刚提出来的时候，就只是科学家们的猜想，随后（很可能是很久很久以后），才被证明他们的猜想是正确的、伟大的。只不过在统计学中，“提出猜想”叫“提出假设”，“证明猜想”叫“检验”。

那么我们假设什么呢？这里就要引入“原假设”和“备择假设”的概念了。“原假设”是“备择假设”的对立面。

下面这个原则很重要：

重要的事情，我再写两遍：如果你想通过种种论证，证明一件事情，就要把这件事情写成“备择假设”。<b><font size=\'3\' color=\'ff0000\'>备择假设通常用于表达研究者自己倾向于支持的看法（这很主观），然后就是想办法收集证据拒绝原假设，以支持备择假设</font></b>。

特别要说明的一点是：如果你不遵守这个“原假设”和“备择假设”设计的基本原则，你很可能会得到相反的结论。

假设检验很像司法界对于一个事实的认定，本着“疑罪从无”的原则，如果你要说明一个人有罪，你必须提供充足的证据，否则被告人的罪名就不能成立，这个说法叫“没有充分的证据证明被告有罪”。

因此，如果我们最后的结论是“原假设”成立，我们一般不这么说，即我们不说“原假设”成立，我们不说“原假设”是真的。我们说 不能拒绝“原假设” ，或者说 没有充分的证据拒绝“原假设” ，或者说 没有充分的证据证明“备择假设”成立 。

因为我们做假设检验一定是觉得两个类别变量有关系，才去做检验。再想想那个“疑罪从无”原则，我们是觉得一个人有罪，才去举证。因此卡方检验的“原假设”一定是假设独立，“备择假设”一定是假设相关，即：

这一点是极其重要且明确的，请你一定记住它，在统计软件中都是这样设定的。

做“检验”这件事情，就很像我们以前做的“反证法”，我们假定要证明的结论的对立面成立，然后推出矛盾，即说明了我们的假设是错误的，即原命题成立。请看下面这个例子：

请你证明：这个餐厅的菜很难吃。
证明：假设这个餐厅的菜很好吃，那么周末的晚上生意一定很好，然而实际观察下来，顾客流量和平时一样，推出矛盾，所以假设不成立，即这个餐厅的菜很难吃。

用假设检验的思路，在这个例子中：
原假设：这个餐厅的菜很好吃；
备择假设：这个餐厅的菜很难吃。

我们把倾向于要证明的结论设置为“备择假设”，而推理是基于“原假设”成立进行的，推理得出矛盾，说明“原假设”错误，从错误的起点推出了错误的结论，因此“原假设”不成立，这就是假设检验里面说的“拒绝原假设”。

因此，检验其实很简单，就是一个是非论证的过程，是单选题，只有两个选项，选择其一。

假设检验的论证流程其实是固定的。论证依据的事实是“ 小概率事件在一次试验中几乎不可能发生 ”，通常，我们得到的矛盾就在于：通过计算统计量，发现通过一次试验得到这个统计量是一个“小概率事件”，“小概率事件”在一次试验中，居然发生了，我们就认为这是很“诡异”的，一定是之前的某个环节出了问题，即“原假设”不成立，于是拒绝“原假设”，即证明了“备择假设”成立。

“卡方检验”即利用“卡方分布”去做“假设检验”。

“卡方分布”（也写作 “ 分布”）是统计学领域的三大分布之一，另外两个分布是“ 分布”与“ 分布”，这些分布都是由正态分布推导出来的，可以认为它们是我们熟知的分布，因为它们可以取哪些值，以及取这些值的概率都是完全弄清楚了的。

注：忘记了三大分布的朋友们，请一定要翻翻自己本科的教材，看看这些分布用来做什么？为什么出现在“数理统计”中，理解使用这些分布是为了从样本中估计总体的信息。

统计学的研究任务是通过样本研究总体，因为我们无法把所有的总体都做一次测试，一般可行的做法就是从总体中抽取一部分数据，根据对这一部分数据的研究，推测总体的一些性质。

而“三大分布”就是我们研究样本的时候选取的参照物。一般我们研究的思路是这样的：如果经过分析，得出待研究的样本符合这些我们已知的分布之一，因为三大分布是被我们的统计学家完全研究透了的，可以认为是无比正确的，就可以通过查表得到这些分布的信息，进而得到样本的一些性质，帮助我们决策。

这里举一个例子，比如你是一个面试官，你手上掌握着“北京”、“上海”、“广州”三个省市的人才信息库，来了一个面试者，从简历中得知这个人来自“北京”，那么我们就可以直接从“北京”市的人才信息库中查阅到他的详细履历，掌握到他更全面的信息。

上面提到的“北京”、“上海”、“广州” 这 3 个城市的人才信息库，就相当于统计学中的三大分布，你不用记住它，你不用随身携带它，但是你可以查阅它，它会告诉你你想知道的信息。

做假设检验的时候，我们也是类似的思路，我们需要利用总体的样本构造出合适的统计量（或枢轴量），并使其服从或近似地服从已知的确定分布，这样我们就可以查阅这些确定分布的相关信息，得到待研究样本所反映出来的总体的一些性质。

上面说到了“统计量”和“枢轴量”，下面简单谈一谈。

如果忘记了的朋友们一定要翻翻以前的教程，“抽样分布定理”是非常重要的。根据抽样分布定理，我们经常是这样用的：样本的某个含有未知参数的函数符合某个已知分布，已知分布可以查表，因此未知参数的性质就知道了。求“置信区间”与做“假设检验”通常就是这样的思路。

说明： 是观测频数（实际值）， 是期望频数（可以认为是理论值），期望频数的计算公式我们马上会介绍到。这个统计量服从自由度为 的 分布， 为行数， 为列数。

下面举个例子，说明卡方检验的基本流程。

以下例子选自中国人民大学龙永红主编《概率论与数理统计》（第三版）P190 “独立性检验”一节例 5.32。

研究青少年行为与家庭状况的关系，调查结果如下：

分析：“青少年行为”是离散型变量，有“犯罪”与“未犯罪”两个取值；“家庭状况”是也离散型变量，有“离异家庭”与“和睦家庭”两个取值，从直觉上，我们认为它们是相关的。因此

上面这张表，我们可以称之为 观察频数表 ，观察依据事实。下面我们会计算一张“理论频数表”，理论依据假设。

原假设：“青少年行为”与“家庭状况”独立。
备择假设：“青少年行为”与“家庭状况”不独立。

要计算出检验统计量，关键是计算出期望频数。我们之前说到了， 假设检验是基于原假设进行论证 ，因此我们的期望频数应该是基于【“青少年行为”与“家庭状况”独立】得到的，即： 两个类别的交叉项的概率可以根据独立事件的概率乘法公式 得到 。具体是这样做的，上面那张表中，把交叉项隐藏起来：

在【“青少年行为”与“家庭状况”独立】这个假设下有：

我们要计算期望频数，就把上面这 个概率分别乘以样本总数 就可以了，于是我们得到 理论频数表 ：

下面我们就套公式 了，将每个单元格的 加起来，就可以得到 统计量：

上面说服从自由度为 的 分布， 为行数， 为列数，即服从 的 分布，接下来，我们就要看得到这个统计量的概率有多大：

得到图像如下：

可以看到， 都不在能图像显示到的范围之内，说明这个概率很低。下面我们查表或者使用 Python 查一下，这个概率是多少：

得到： ，确实是一个几乎为 的数。这说明了什么呢？

说明了，在我们的假设【“青少年行为”与“家庭状况”独立】下，得到这组观测数据的概率很低很低，基于<b><font size=\'3\' color=\'ff0000\'> 小概率事件在一次试验中几乎不会发生 </font></b>，但它却发生了，就证明了我们的“原假设”是不正确的，即有充分证据决绝“原假设”。（这一部分有点绕，其实很简单，多看几遍就非常清楚了。）

其实到这里，我们对卡方检验就已经介绍完了，是不是觉得很简单。但是在实际操作的过程中，我们还会引入 值，很多统计软件也会帮我们计算出 值，这个 值是个什么鬼呢？下面先给出我的结论：

说明：以下我根据对 值的理解自己总结的，是人话，但不一定准确。

得到“检验统计量”有个缺点，就是它是一个很“死”的数字，我们看到 ，我们只能直观感觉它很大，因为如果观察频数与理论频数大约相等，这个值应该很小，但不能量化这个值有多大。这只是统计量服从某个自由度的卡方分布的情况。

那么问题来了，如果统计量服从其它分布呢？统计量这个干巴巴的数字，你怎么知道这个这个分布取到这个统计量的概率有多大？因此还差一步， 我们还必须查表 。所以得到 值的过程就是帮你查表了， 值是一个概率值，它介于 和 之间， 值是 当前分布取到这个统计量的概率到当前分布极端值（指的是概率很小的极端值）这个区间的累计概率之和 ，即取到这个值，到比这个值更“差”的概率之和，如果 值很大，说明统计量取当前值的概率在一个正常的范围（一般是认为设定成 ），如果 值很小，说明这个统计量取当前值的概率也非常小。

特别说明： 对于连续型随机变量来说，取到某个值的概率其实是 ，因此上面才用到了对于区间取概率之和。

说明：上面所说的累积概率之和如果很小，小于一个临界值，这个临界值我们称之为“显著性水平”，用 表示，一般取 。多说一句，这个显著性水平其实是我们在原假设成立的情况下，拒绝原假设的概率，即犯第一类错误的概率，具体就不展开了，请参考相关《概率论与数理统计》教材。

所以我们总结一下：

1、 值统一了假设检验的比较标准，把计算统计量的概率大小统一变成计算 值，如果这个 值小于一个预先设定好的很小的数，则拒绝原假设，如果 值大于这个预先设置好的很小的数，则说明没有充分证据拒绝原假设；
2、使用 值进行假设检验的时候，会更便利。因此，使用 值进行假设检验的评判标准就只要一个，就是记住这句话“小拒大接”，即比 小，就拒绝“原假设”，比 大，结论是“没有理由拒绝原假设”。

值在不同的检验问题中，计算的方式会有一些不同，区别就在于概率极端值是在一侧还是在两侧。在这里，我们就以卡方检验为例，如果我们计算出来的统计量的值为 ，那么看图：

这个时候，统计量取 的概率就很高了，从图中可以看出大于 。我们作如下分析：

（说明：累计积分和分位点的概念都是十分重要的，在这里就不赘述了，读者可以查阅相关统计学的教材。）

于是， 对于卡方检验而言 ，得到的统计量，我们可以计算这个从统计量到正无穷的积分，如果这个积分值小于“显著性水平”，即 认为这个统计量的概率一定在“显著性水平”所确定的临界点的右边，即它是比“小概率事件”发生的概率还小的“小概率事件” 。

下面，我们自己写一个函数来实现卡方检验相关的计算，实现和 scipy 软件包提供的卡方检验同样的效果。

下面验证我们编写的卡方检验函数的正确性：

显示：

1、结合日常生活的例子，了解什么是卡方检验
https://www.jianshu.com/p/807b2c2bfd9b

2、假设检验之八：p值是什么：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/26068572

如何解读卡方检验结果？跪求大神

参考技术A 1.
你这里只是参照卡方检验，进行了计算。
2.
性别的影响从这里看不出来。
3.
第一个
4.
6单元格分别是不同意，一般，同意(4)，非常同意(0),比5小。而且这里总数是20。所以应该用fisher精确概率计算，具体参照：
n大于等于40.所有理论频数大于等于5---用卡方检验
n大于等于40，所有理论频数大于1，小于5----用校正的卡方
n小于40，理论频数小于1-----用fish精确概率法