如何分析时间复杂度(线性表)

Posted 2023-04-02

bool InsertSet(Station item)

sNode *newp=new sNode;
newp->data=item;
newp->next=Head->next;
Head->next=newp;
if (newp->next==NULL) newp->next=Head;
return true;
;

bool InsertSet(Station item,int n)

sNode *p;p=Head;
for (int i=1;i<n;i++)

p=p->next;

sNode *newp=new sNode;
newp->data=item;
newp->next=p->next;
p->next=newp;
return true;
;
void OutputSet(sNode *head)

if (head==NULL) return;
sNode *p=Head->next;
while(p!=Head)

cout<<p->data.ID<<"\t"<<p->data.name<<"\t"<<p->data.num;
p=p->next;
cout<<"\n";
;
;

算法分析

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

1、时间复杂度

（1）时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

（2）时间复杂度

在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),

线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，

k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

2、空间复杂度

与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作:

S(n)=O(f(n))

我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。 参考技术A 查找的核心操作是比较，评价时间复杂度的指标就是看需要多少次比较操作。
如果查找长度为N的线性表需要的比较操作的次数与N成比例关系，就是线性复杂度，比如顺序查找时平均N/2次比较，就是线性复杂度，一般记作O(N)。 折半查找的比较次数平均为log(N)/2。 参考技术B 同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。
计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷时的情况。
计算方法
1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f(n)，因此，算法的时间复杂度记做：T(n)=O(f(n))
分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和 f(n) 的增长率成正比，所以 f(n) 越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出 T(n) 的同数量级（它的同数量级有以下：1，log2n，n，n log2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出后，f(n) = 该数量级，若 T(n)/f(n) 求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n) = O(f(n))
例：算法：

for(i=1; i<=n; ++i)



for(j=1; j<=n; ++j)



c[i][j] = 0;//该步骤属于基本操作执行次数：n的平方次

for(k=1; k<=n; ++k)

c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];//该步骤属于基本操作执行次数：n的三次方次





则有 T(n) = n 的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级
则有 f(n) = n的三次方，然后根据 T(n)/f(n) 求极限可得到常数c
则该算法的时间复杂度：T(n) = O(n^3) 注：n^3即是n的3次方。
3.在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O(n)，二重则为O(n^2)，依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。

分类
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),
线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，
k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

关于对其的理解
《数据结构（C语言版）》------严蔚敏 吴伟民编著 第15页有句话"整个算法的执行时间与基本操作重复执行的次数成正比。"
基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，于是算法的时间量度可以记为：T(n) = O(f(n))
如果按照这么推断，T(n)应该表示的是算法的时间量度，也就是算法执行的时间。
而该页对“语句频度”也有定义：指的是该语句重复执行的次数。
如果是基本操作所在语句重复执行的次数，那么就该是f(n)。
上边的n都表示的问题规模。

数据结构线性单链表的算法实现和时间复杂度分析

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
//线性表的动态分配链式存储结构
#define LIST_INIT_SIZE 100//线性表存储空间的初始分配量
#define LISTINCREMENT 10//线性表存储空间的分配增量
//函数结果状态代码
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW -2
typedef int Status;//Status是函数的类型，其值是函数结果状态代码
typedef int ElemType;
typedef struct LNode{//节点类型
    ElemType data;
    struct LNode *next;
}LNode,*LinkList;
//O(1)
Status InitList_L(LinkList &L)
{
    //初始化一个有头节点的空的线性单链表L
    L=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));
    if(!L) exit(OVERFLOW);
    L->next=NULL;
    return OK;
}//InitList_L
//O(n)
Status DestroyList_L(LinkList &L)
{
    // 初始条件：线性表L已存在。
    //操作结果：销毁线性表L为带头结点的链表，释放所有空间
    while(L)
    {
        LinkList p=L;
        L=L->next;
        free(p);
    }
    printf("线性单链表销毁成功\n");
    return OK;
}//DestroyList_L
//O(n)
Status ClearList_L(LinkList &L)
{
    //初始条件：线性表L已存在。
    //操作结果：将L重置为空表带头结点的链表，释放出头结点外的空间，保留头结点
    LinkList p=L;
    while(p->next)
    {
        LinkList q=p->next;
        p->next=q->next;
        free(q);
    }
    printf("线性单链表清空成功\n");
    return OK;
}//ClearList_L
//O(1)
Status ListEmpty_l(LinkList &L)
{
    //初始条件：线性表L已存在。
    //操作结果：若L为空表，则返回TRUE，否则返回FALSE
    LinkList p=L->next;
    if(p)return TRUE;
    return FALSE;
}//ListEmpty_l
//O(n)
Status LocateElem_L(LinkList L,ElemType e,Status (*compare)(ElemType,ElemType))
{
    //初始条件：线性表L已存在。
    //操作结果：返回L中第1个与e满足关系compare()的数据元素的位序。若这样的数据元素不存在，则返回值为0
    LinkList p=L->next;
    int i=1;
    while(p)
    {    
        if((*compare)(p->data,e))
        return i;
        p=p->next;
        ++i;
    }
    return i;
}//LocateElem_L
Status compare(ElemType e1,ElemType e2)
{
    if(e1==e2)
        return OK;
    else
        return ERROR;
}
//O(n)
Status PriorElem_L(LinkList L,ElemType cur_e,ElemType &pre_e)
{
    //初始条件：线性表L已存在。
    //操作结果：若cue_e是L的数据元素，且不是第一个，则用pre_e返回它的前驱，否则操作失败，pre_e无定义
    LinkList p=L->next;
    while(p&&p->next)
    {
        if(p->next->data==cur_e)
        {
            pre_e=p->data;
            return OK;
        }    
        p=p->next;
    }
    return ERROR;
}//PriorElem_L
//O(n)
Status NextElem_L(LinkList L,ElemType cur_e,ElemType &next_e)
{
    
    //初始条件：线性表L已存在。
    //操作结果：若cue_e是L的数据元素，且不是最后一个，则用next_e返回它的后驱，否则操作失败，next_e无定义
    LinkList p=L->next;
    while(p&&p->next)
    {
        if(p->data==cur_e)
        {
            next_e=p->next->data;
            return OK;
        }
        p=p->next;
    }
    return ERROR;
}//PriorElem_L
//O(n)
Status GetElem_L(LinkList L,int i,ElemType &e)
{
    //L为带头节点的单链表的头指针
    //当第i个元素存在时，其值赋给e并返回OK,否则返回ERROR      
    LinkList p=L->next; int j=1;//初始化，p指向第一个节点，j为计数器
    while(p&&j<i)//顺指针向后查找，直到p指向第1个元素或p为空
    {
        p=p->next;
        ++j;
    }
    if(!p||j>i)return ERROR;//第i个元素不存在
    e=p->data;//取第i个元素
    return OK;
}//DestroyList_L
//O(n)
Status ListInsert_L(LinkList &L,int i,ElemType e)
{
    //在带头结点的单链线性表中第i个位置之前插入元素e
    LinkList p=L;int j=0;
    while(p&&j<i-1)//寻找第i-1个节点
    {
        p->next;++j;
    }
    if(!p||j>i-1)return ERROR;//i小于1或者大于表长加1
    LinkList s=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));//生成新节点
    s->data=e;//插入到L中
    s->next=p->next;
    p->next=s;
    return OK;
}//ListInsert_L
//O(n)
Status ListDelete_L(LinkList &L,int i,ElemType &e)
{
    //在带头节点的单链表L中，删除第i个元素，并由e返回其值
    LinkList p=L;int j=0;
    while(p->next&&j<i-1)//寻找第i个结点，并令p指向其前驱
    {
        p=p->next;
        ++j;
    }
    if(!p->next||j>i-1)return ERROR;//删除位置不合理
    LinkList q=p->next;//删除并释放结点
    e=q->data;
    p->next=q->next;
    free(q);
    return OK;
}//ListDelete_L
//O(n)
void CreateList_L(LinkList &L,int n)
{
    //逆位序输入n个元素的值，建立带表结点的单链线性表L
    L=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));
    L->next=NULL;//先建立一个带头节点的单链表
    for(int i=n;i>0;--i)
    {
        LinkList p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));//生成新结点
        //scanf("%d",&p->data);//输入元素值
        p->data=i;
        p->next=L->next;//插入到表头
        L->next=p;
    }
}
//O(n)
Status ListTraverse_L(LinkList &L,Status (*visit)(ElemType))
{
    //初始条件：线性表L已存在
    //操作结果:依次对L的每个元素调用，visit().一旦visit()失败，则操作失败。
    LinkList p=L->next;
    printf("单链线性表中的元素依次为:");
    while(p)
    {
        
        if((*visit)(p->data))
            printf("%d,",p->data);
        else
            return ERROR;
        p=p->next;
    }
}//ListTraverse_L
Status visit(ElemType e)
{
    return OK;
}
//O(La.length+Lb.length)
void mergelist_L(LinkList &La,LinkList &Lb,LinkList &Lc)
{
    //已知单链线性表La和Lb的元素按值非递减排列
    //归并La和Lb得到新的单链线性表Lc，Lc的元素也按值非递减排列
    LinkList pa=La->next,pb=Lb->next;
    LinkList pc;
    Lc=pc=La;
    while(pa&&pb)
    {
        if(pa->data<=pb->data)
        {
            pc->next=pa;
            pc=pa;
            pa=pa->next;
        }else
        {
            pc->next=pb;
            pc=pb;
            pb=pb->next;
        }
    }
    pc->next=pa?pa:pc->next=pb;
    free(Lb);
}//mergelist_L
int main()
{
    LinkList La,Lb,Lc;
    int n=4,i=1;
    ElemType pre_e,next_e;
    CreateList_L(La,n);
    CreateList_L(Lb,n);
    ListTraverse_L(La,visit);
    printf("\n");
    ListTraverse_L(Lb,visit);
    printf("\n");
    mergelist_L(La,Lb,Lc);
    ListInsert_L(Lc,2,1);
    ListDelete_L(Lc,2,i);
    ListTraverse_L(Lc,visit);
    printf("线性单链表中2的元素位序为:%d\n",LocateElem_L(Lc,2,compare));
    PriorElem_L(Lc,2,pre_e);
    printf("线性单链表中2的元素前驱为:%d\n",pre_e);
    NextElem_L(Lc,2,next_e);
    printf("线性单链表中2的元素后继为:%d\n",next_e);
    ClearList_L(Lc);
    ListTraverse_L(Lc,visit);
    printf("\n");
    DestroyList_L(La);
    getchar();
    getchar();
    return 0;
}