【数据结构】红黑树

Posted 2023-03-22

参考技术A

      红黑树是一个要求不那么严格的平衡二叉树搜索树（平衡二叉搜索树/AVL树=平衡二叉树+二叉搜索树）
【 平衡二叉树要求左右子树高度差值<=1，红黑树放宽了这个要求，只要求任意路径的长度只差不会超过2倍即可。更准确的说是任意路径上的的黑色节点数相同即可 】

红黑树可用于数据查找，因为其“相对”平衡，所以其查找效率略低于平衡二叉搜索树，但是也非常高效。

      平衡二叉树的要求过于严格（左右子树高度差值<=1），导致几乎每一次插入/删除节点都会破坏平衡二叉树的结构，需要将其重新调整为平衡二叉树。
      显然，如果在那种插入、删除很频繁的场景中，平衡树需要频繁着进行调整，这会使平衡树的性能大打折扣。而红黑树因为不是严格的平衡，所以可以避免这个问题，同时红黑树又是一个“相对”平衡的二叉搜索树，所以其查找性能也很好。

1、每个节点都有颜色（红或黑）
2、根节点是黑色的
3、叶节点时黑色的（注意：叶节点是空节点，有值的节点都不是叶结点）
4、没有两个相邻的红色节点（或者说红色节点的子节点一定是黑色节点）
5、从根节点到叶结点的每条路径包含的黑色节点相同（又叫：黑节点平衡）

与二叉搜索树查找数据的过程一致

（若插入数据后破坏了红黑树的性质，则需要对红黑树进行“再平衡”，使其满足红黑树的性质。并且新插入的节点最多只会破坏5条性质中的1条）
插入数据分为了3种情况
1、插入的节点，其没有父节点
2、插入的节点，其父节点是黑色节点
3、插入的节点，其父节点是红色节点

第一种情况 ：插入的节点没有父节点，说明插入的节点是根节点，此时直接将节点的颜色改为黑色即可

第二种情况 ：插入的节点，其父节点是黑色节点，此时不需要采取措施。新插入的节点并没有破坏红黑树的性质

第三种情况 ：插入的节点，其父节点是红色节点。如图

可以看到21和22同为红色，破坏了“ 没有两个相邻的红色节点 ”性质，需要进行 再平衡 操作。

分为以下情况（共同前提：插入节点的父节点是红色）：
1、插入节点的父节点的兄弟节点（即插入节点的叔叔节点，就是上图中的27节点）是红色
2、插入节点的父节点的兄弟节点是黑色

第一步：将其父节点颜色变为黑色
因为其父节点颜色变成了黑色，所以包含其父节点的这条路径多了一个黑色节点。破坏了“ 从根节点到叶结点的每条路径包含的黑色节点相同 ”性质，如上面的13,17,25，22（变成了黑色）,21路径

第二步：看其叔叔的颜色：

第一种情况 ：其叔叔节点为红色（其父节点为红色的前提下）
步骤：
1、把叔叔节点变成黑色
2、把其祖父节点（父节点的父节点）变成红色。若其祖父节点为根节点，则不变色
3、把祖父节点当做新插入的节点，重复1,2,3步骤直到其祖父节点为根节点

第二种情况 ：其叔叔节点为黑色（其父节点为红色的前提下）
这种情况下又分为两种情况：
1、新插入的子节点是父节点的左子节点
2、新插入的子节点是父节点的右子节点

第一种情况 ：新插入的子节点是父节点的左子节点（其叔叔节点为黑色，并且其父节点为红色的前提下）
步骤：（先变色，在右旋）

1、将其父节点变为黑色
2、将其祖父节点变为红色（其父节点是红色，则其祖父节点必为黑色）
3、以其父节点为支点，进行右旋操作（如何右旋？百度上有很形象的动画演示）

第二种情况 ：新插入的子节点是父节点的右子节点（其叔叔节点为黑色，并且其父节点为红色的前提下）
步骤：（ 先左旋将其变为情况一，在按情况一的操作来进行 ）

以新插入的节点为支点，进行左旋操作， 变为情况一，此时将插入节点的父节点（上图的P节点）当做新插入的节点来进行情况一步骤下的：变色，右旋操作

下面我们开始讨论删除操作（下面的叶子节点都是指非NULL的叶子节点）：

A. 删除的是叶子节点且该叶子节点是红色的 ---> 无需修复，因为它不会破坏红黑树的5个特性

B. 删除的是叶子节点且该叶子节点是黑色的 ---> 很明显会破坏特性5，需要修复。

C. 删除的节点（为了便于叙述我们将其称为P）下面有一个子节点 S，对于这种情况我们通过 将P和S的值交换的方式，巧妙的将删除P变为删除S，S是叶子节点，这样C这种情况就会转 换为A, B这两种情况：

C1: P为黑色，S为红色 ---> 对应 A 这种情况

C2: P为黑色或红色，S为黑色 --- > 对应 B 这种情况

**D. **删除的节点有两个子节点，对于这种情况，我们通过将P和它的后继节点N的值交换的方 式，将删除节点P转换为删除后继节点N，而后继节点只可能是以下两种情况：

D1: N是叶子节点 --- > 对应情况 A 或 B

D2: N有一个子节点 ---- > 对应情况 C

所以通过上面的分析我们发现，红黑树节点删除后的修复操作都可以转换为 A 或 B这两种情况，而A不需要修复，所以我们只需要研究B这种情况如何修复就行了。

下面我们讨论如何修复B中情况：(若没有兄弟节点，则其兄弟节点是null节点，根据红黑树的性质，null节点为黑色)