解析Variational AutoEncoder（VAE）

Posted 2023-03-15

参考技术A

数月前听在做推荐系统的同事提了一下VAE这个模型，因为以前没用过,出于好奇便稍微研究了一下.虽然从深度学习的角度去看并不复杂,但是发现从贝叶斯概率的视角去理解并不是那么显然。
鉴于这是备受推崇的两大深度生成模型之一，想必会有可取之处。加之从我个人的思维习惯和直觉来看,这东西十分颇有深意,于是早就想来说道说道这个东西,然后因为前段时间一直一回家就提不起劲什么的,在拖了这么久之后总算有了这篇文章.

在说VAE之前，先来看一下它的前身AutoEncoder(AE).
AE是非常知名的自编码器，它通过自监督的训练方式，能够从原始特征获得一个潜在的特征编码，实现了自动化的特征工程，并且达到了降维和泛化的目的。
它的网络结构很简单，有编码和解码两个部分组成：

容易看出，之所以是自监督就是因为网络的target即是input本身，因此不需要额外的标签工作，虽然它由编码器和解码器两个部分组成，但是，显然从自编码器这个名字就可以看出，AE的重点在于编码，即得到这个隐藏层的向量，作为input的潜在特征，这是常见的一种embedding的一种方式。而解码的结果，基于训练目标，如果损失足够小的话，将会与input相同，从这一点上看解码的值没有任何实际意义，除了通过增加误差来补充平滑一些初始的零值或有些许用处。因为，从输入到输出的整个过程，都是基于已有的训练数据的映射，尽管隐藏层的维度通常比输入层小很多，但隐藏层的概率分布依然只取决于训练数据的分布，这就导致隐藏状态空间的分布并不是连续的，于是如果我们随机生成隐藏层的状态，那么它经过解码将很可能不再具备输入特征的特点，因此想通过解码器来生成数据就有点强模型所难了。

正是因为以上的这些原因，有大佬就对AE的隐藏层做了些改动，得到了VAE。

VAE将经过神经网络编码后的隐藏层假设为一个标准的高斯分布，然后再从这个分布中采样一个特征，再用这个特征进行解码，期望得到与原始输入相同的结果，损失和AE几乎一样，只是增加编码推断分布与标准高斯分布的KL散度的正则项，显然增加这个正则项的目的就是防止模型退化成普通的AE，因为网络训练时为了尽量减小重构误差，必然使得方差逐渐被降到0，这样便不再会有随机采样噪声，也就变成了普通的AE。

没错，我们先抛开变分，它就是这么简单的一个假设... 仔细想一下，就会觉得妙不可言。

它妙就妙在它为每个输入 , 生成了一个潜在概率分布 ,然后再从分布中进行随机采样，从而得到了连续完整的潜在空间，解决了AE中无法用于生成的问题。
《论语》有言：“举一隅，不以三隅反，则不复也。” ，给我的启发就是看事物应该不能只看表面，而应该了解其本质规律，从而可以灵活迁移到很多类似场景。聪明人学习当举一反三，那么聪明的神经网络，自然也不能只会怼训练数据。如果我们把原始输入 看作是一个表面特征，而其潜在特征便是表面经过抽象之后的类特征，它将比表面特征更具备区分事物的能力，而VAE直接基于拟合了基于已知的潜在概率分布，可以说是进一步的掌握了事物的本质。
就拿一个人的某个行为来说，我们不能单纯看行为本身，因为这个行为往往代表了他的综合特性，他从出生开始，因为遗传，后天教育和环境，决定了他在面对某种情形的情况下，高概率会产生这个行为，也就是说掌握了概率分布，就掌控了一切。

读了上面的内容之后，你应该对VAE模型有了一个较为直观和感性的认知，但是可能会疑惑所谓的变分到底在哪里？
放心，变分并没有被作者吃掉，接下来，我们就从变分推断的角度，对VAE进行一个理性的推导。有了上面的基础，再读下面的内容时就会轻松愉快很多。

变分自编码器（VAE） 的想法和名字的由来便是变分推断了，那么什么是变分推断呢？
变分推断是MCMC搞不定场景的一种替代算法，它考虑一个贝叶斯推断问题，给定观测变量 和潜变量 , 其联合概率分布为 , 目标是计算后验分布 .然后我们可以假设一个变分分布 来自分布族 ，通过最小化KL散度来近似后验分布 :

这么一来，就成功的将一个贝叶斯推断问题转化为了一个优化问题~

有了变分推断的认知，我们再回过头去看一下VAE模型的整体框架，VAE就是将AE的编码和解码过程转化为了一个贝叶斯概率模型：
我们的训练数据即为观测变量 ， 假设它由不能直接观测到的潜变量 生成， 于是，生成观测变量过程便是似然分布： ，也就是解码器，因而编码器自然就是后验分布： .
根据贝叶斯公式,建立先验、后验和似然的关系：

接下来，基于上面变分推断的思想，我们假设变分分布 , 通过最小化KL散度来近似后验分布 ，于是，最佳的 便是：

因为训练数据 是确定的，因此 是一个常数，于是上面的优化问题等价于：

此时，优观察一下优化方程的形式...已经是我们前面所说的VAE的损失函数了~~
显然，跟我们希望解码准确的目标是一致的。要解码的准，则 应该尽可能的小，编码特征 的分布 同 尽可能的接近，此时恰好 和 都尽可能的小，与损失的优化的目标也一致。

正如前面所提到的AE潜变量的局限性，我们希望VAE的潜变量分布 应该能满足海量的输入数据 并且相互独立，基于中心极限定理，以及为了方便采样，我们有理由直接假设 是一个标准的高斯分布 .

我们先来看一下编码部分，我们希望拟合一个分布 尽可能接近 ， 关键就在于基于输入 计算 和 , 直接算有点困难，于是就使用两个神经网络 和 来无脑拟合 和 。

值得一提的是，很多地方实际使用的 、 两部分神经网络并不是独立的，而是有一部分交集，即他们都先通过一个 映射到一个中间层 , 然后分别对 计算 和 . 这样错的好处的话一方面是可以减少参数数量，另外这样算应该会导致拟合的效果差一些，算是防止过拟合吧。

解码，即从潜变量 生成数据 的过程，在于最大化似然 ，那这应该是个什么分布呢？通常我们假设它是一个 伯努利分布 或是 高斯分布 。
我勒个去，凭什么是这两个分布... 这个比较无解..只能伯努利分布十分简单，熟悉的人也多，高斯分布呢又太接近大自然了...关键用起来又方便....

知道了分布类型，那计算 最小值其实只要把分布公式带进去算就可以了..

然后，将编码和解码部分组合到一起，就形成了完整的VAE网络。

训练的时候似乎出了点问题。从编码得到的分布 随机采样 的这个过程没法求导，没法进行误差反向传播....

都推到这了你跟我说没法训练？？？ 差点喷出一口老血...

好在这里可以使用一个叫做 重参数（reparametrisation trick） 的技巧：

真是妙呀，这样一来将采样变成了一个数值变换，整个过程便可导了~~~

这样，训练好模型之后，我们可以直接将解码部分拿出来，通过标准高斯分布随机采样源源不断的生成数据了。

下面仅代表我个人的一些直觉和思考，姑且一看，或代表了一种发展的方向。
VAE中使用神经网络来拟合高斯分布的想法独树一帜，对很多任务能带来启发。神经网络在特征化训练数据的过程无异于海量数据的管中窥豹，但是想要让模型超脱于豹，而像人一样产生对相似的猫、老虎...之类的概念，VAE的这种思想颇有一些意味。