∑GL-齐次坐标

Posted 2023-03-14 itzyjr

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• • • • • 问题：两条平行线可以相交。
        • 解决方案：齐次坐标
        • 为什么称为“齐次坐标”？
        • 证据：两条平行线可以相交。

问题：两条平行线可以相交。

在欧几里德空间（几何学）中，同一平面上的两条平行线不能相交，也不能永远相交。这是每个人都熟悉的常识。

然而，这在投影空间中不再是真的，例如，下图中的火车轨道在远离眼睛时变得更窄。最后，两条平行轨道在地平线处相交，这是无限远处的一个点。

欧几里德空间（或笛卡尔空间）很好地描述了我们的2D/3D几何，但它们不足以处理射影空间（实际上，欧几里德几何是射影几何的一个子集）。二维点的笛卡尔坐标可以表示为（x，y）。

如果这一点远至无穷大呢？无穷远处的点是(∞,∞), 在欧几里得空间中变得毫无意义。在射影空间中，平行线应在无穷远处相交，但在欧几里德空间中不能相交。数学家们发现了一种解决这个问题的方法。

解决方案：齐次坐标

齐次坐标由August Ferdinand Möbius引入，使得在射影空间中计算图形和几何成为可能。齐次坐标是用N+1数字表示N维坐标的一种方法。

为了生成二维齐次坐标，我们只需在现有坐标中添加一个附加变量w。因此，笛卡尔坐标系中的点（X，Y）变成齐次坐标系中的点（x，y，w）。笛卡尔坐标系中的X和Y用齐次坐标系中的x、y和w重新表示：
X = x/w
Y = y/w

例如，笛卡尔（1，2）中的一个点变成了（1，2，1）中的齐次点。如果一个点（1，2）向无穷远移动，它在笛卡尔坐标系下就变成(∞,∞) ；它在齐次坐标系下变成（1，2，0），因为（1/0，2/0）≈ (∞,∞)。请注意，我们可以在无穷远处表示点，而不必使用“∞”。

为什么称为“齐次坐标”？

如前所述，为了将齐次坐标（x，y，w）转换为笛卡尔坐标，我们只需将x和y除以w；

将齐次坐标(Homogeneous)变换为笛卡尔坐标(Cartesian)，我们可以发现一个重要的事实。让我们看看下面的例子：

如你所见，点（1,2,3）、（2,4,6）和（4,8,12）对应于相同的欧几里德点（1/3,2/3）。任何标量积（1a，2a，3a）与欧氏空间中的（1/3，2/3）是同一点。因此，这些点是“齐次的”，因为它们代表欧几里德空间（或笛卡尔空间）中的同一点。换句话说，齐次坐标是尺度不变的。

证据：两条平行线可以相交。

考虑欧氏空间中的下列线性系统：

我们知道，上述两方程对应的是两条相互平行的线。
因为C≠D，所以上述方程没有解。
如果C=D，则两条线相同（重叠）。

让我们重写射影空间的方程，将x和y分别替换为x/w和y/w：

这时我们有解(x,y,0)。由于(C-D)w = 0，C≠D，所以w=0。因此，当(X,Y,W)=(x,y,0)时满足两个方程，即两条平行线相交于点(x,y,0)，对应欧氏空间中点(x/0,y/0)，这是一个在无穷远处的点。

齐次坐标是计算机图形学中非常有用的基本概念，例如将三维场景投影到二维平面上。