Java与算法之 - 完全二叉树

Posted 2020-09-17 撒_旦

• 树

 

下图是一“棵”树的样子。树这个名称起的很形象，整个数据结构由根、枝、叶组成，其中1为根节点，2、3是1的子节点，4、5、6、8、9、10这几个没有子节点的节点称为叶节点。

节点的度：一个节点的子树的数量称为该节点的度。例如，图中节点2的度为3，节点3的度为2。

树的度：一棵树的度是指该树中节点的最大度数。如图中树的度是3。

节点的层数：每个节点都处在一定的层次上，图中根节点在第1层，2、3节点在第二层。

树的深度：一棵树中节点的最大层数称为树的深度。如中所示的树的深度为4。

 

• 二叉树

 

二叉树是一种特殊的树，特点是每个节点最多有两个子节点。上图中的树去掉节点4就符合二叉树的定义了，如下图：

 

• 完全二叉树

 

除二叉树最后一层外，其他各层的节点数都达到最大个数，且最后一层从左向右的叶节点连续存在，只缺右侧若干节点，就是完全二叉树。

如下图，每一层都是从左向右摆放节点，每个节点都是摆满两个子节点后才向右移动到下一个节点，一层摆满后向下移动一层，直到摆放完所有数字。这样得到的二叉树就是完全二叉树，中间有任何缺失的节点就不能称为完全二叉树。

完全二叉树的一个重要特性就是节点编号的规律，这是理解完全二叉树构建程序的根本。看上图，仍然按照从左到右、从上到下的规律从1开始为节点编号，图中节点上的数字正好与节点编号相同，可以看出：

如果一个父节点的编号是x，那么它左子节点的编号就是2x，右子节点的编号就是2x+1。

在程序中，二叉树通常采用链式结构存储，链中的每一个节点由节点数据、左子节点指针、右子节点指针组成

 

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 print?

1. class Node {  
2.     Node leftChild;  
3.     Node rightChild;  
4.     int data;  
5.   
6.     public Node(int data) {  
7.         this.data = data;  
8.     }  
9. }  

有时候为了查找父节点方便，还可以为节点定义增加一个指向父节点的指针。

 

假设要用1-9这九个数字构建二叉树，那么先创建好九个节点，然后设置这些节点的左右子节点指针。观察多个节点数不等的完全二叉树可以得出规律，对于x个节点组成的二叉树，只有前x / 2(取整)个节点具有子节点，且第x / 2个节点可能只有左子节点。

理解了这些后，代码就很简单了

 

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 print?

1. import java.util.LinkedList;  
2. import java.util.List;  
3.   
4. /** 
5.  * Created by autfish on 2016/9/13. 
6.  */  
7. public class BinTreeByList {  
8.   
9.     List<Node> nodes = null;  
10.     private int[] datas = null;  
11.     private int number;  
12.   
13.     public BinTreeByList(int[] datas) {  
14.         this.datas = datas;  
15.         this.number = this.datas.length;  
16.     }  
17.   
18.     public void create() {  
19.         nodes = new LinkedList<>();  
20.         for(int i = 0; i < this.number; i++) {  
21.             nodes.add(new Node(datas[i]));  
22.         }  
23.         //如果父节点编号为x, 那么左子节点的编号是2x, 右子节点的编号是2x+1  
24.         for(int noteId = 1; noteId <= this.number / 2; noteId++) {  
25.             //索引从0开始, 需要在节点编号上减1  
26.             nodes.get(noteId - 1).leftChild = nodes.get(noteId * 2 - 1);  
27.             if(noteId * 2 < this.number)  
28.                 nodes.get(noteId - 1).rightChild = nodes.get(noteId * 2);  
29.         }  
30.     }  
31.   
32.     private static class Node {  
33.         Node leftChild;  
34.         Node rightChild;  
35.         int data;  
36.   
37.         public Node(int data) {  
38.             this.data = data;  
39.         }  
40.     }  
41. }  

接下来的问题是，二叉树是非线性结构，如果拿到一个已经构建好的二叉树结构，如何遍历其全部节点呢。遍历的定义是按一定的规则和顺序走遍二叉树的所有节点，使每一个节点都被访问一次，而且只被访问一次。

 

先看概念：

先序遍历（DLR）：称为先根次序遍历，即先访问根节点，再按先序遍历左子树，最后按先序遍历右子树。
中序遍历（LDR）：称为中根次序遍历，即先按中序遍历左子树，再访问根节点，最后按中序遍历右子树。
后序遍历（LRD）：称为后根次序遍历，即先按后序遍历左子树，再按后序遍历右子树，最后访问根节点。

三种方式遍历的代码如下：

 

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 print?

1. public void preOrder(Node node) {  
2.      if(node == null) {  
3.          return;  
4.      }  
5.      System.out.print(node.data + " ");  
6.      preOrder(node.leftChild);  
7.      preOrder(node.rightChild);  
8.  }  
9.   
10.  public void inOrder(Node node) {  
11.      if(node == null) {  
12.          return;  
13.      }  
14.      inOrder(node.leftChild);  
15.      System.out.print(node.data + " ");  
16.      inOrder(node.rightChild);  
17.  }  
18.   
19.  public void postOrder(Node node) {  
20.      if(node == null) {  
21.          return;  
22.      }  
23.      postOrder(node.leftChild);  
24.      inOrder(node.rightChild);  
25.      System.out.print(node.data + " ");  
26.  }  

测试代码：

 

 

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 print?

1. public static void main(String[] args) {  
2.     int[] numbers = new int[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };  
3.   
4.     BinTreeByList tree = new BinTreeByList(numbers);  
5.     tree.create();  
6.     System.out.print("先序遍历");  
7.     tree.preOrder(tree.nodes.get(0));  
8.     System.out.println();  
9.     System.out.print("中序遍历");  
10.     tree.inOrder(tree.nodes.get(0));  
11.     System.out.println();  
12.     System.out.print("后续遍历");  
13.     tree.postOrder(tree.nodes.get(0));  
14. }  

输出：

 

 

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 print?

1. 先序遍历1 2 4 8 9 5 3 6 7   
2. 中序遍历8 4 9 2 5 1 6 3 7   
3. 后续遍历8 9 4 5 2 6 3 7 1   

其实，完全二叉树还有一种更简单的存储方式，即一维数组。也就是说int[] {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}本身就是一个完全二叉树了。

 

根据数字在数组中的索引即可以计算出数字的节点位置，而且仍然可以对这个二叉树做三种方式的遍历。

 

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 print?

1. /** 
2.  * 完全二叉树 
3.  * Created by autfish on 2016/9/8. 
4.  */  
5. public class BinTreeByArray {  
6.     private int[] numbers;  
7.   
8.     public BinTreeByArray(int[] numbers) {  
9.         this.numbers = numbers;  
10.     }  
11.   
12.     /** 
13.      * 先序遍历 
14.      * 根节点 -> 遍历左子树 -> 遍历右子树 
15.      * @param nodeId 
16.      */  
17.     public void preOrder(int nodeId) {  
18.         if(nodeId <= numbers.length) {  
19.             System.out.print(numbers[nodeId - 1] + "  ");  
20.             preOrder(nodeId * 2);  
21.             preOrder(nodeId * 2 + 1);  
22.         }  
23.     }  
24.   
25.     /** 
26.      * 中序遍历 
27.      * 左子树 -> 父节点 -> 右子树 
28.      * @param nodeId 
29.      */  
30.     public void inOrder(int nodeId) {  
31.         if(nodeId <= numbers.length) {  
32.             inOrder(nodeId * 2);  
33.             System.out.print(numbers[nodeId - 1] + "  ");  
34.             inOrder(nodeId * 2 + 1);  
35.         }  
36.     }  
37.   
38.     /** 
39.      * 后续遍历 
40.      * 左子树 -> 右子树 -> 父节点 
41.      * @param nodeId 
42.      */  
43.     public void postOrder(int nodeId) {  
44.         if(nodeId <= numbers.length) {  
45.             postOrder(nodeId * 2);  
46.             inOrder(nodeId * 2 + 1);  
47.             System.out.print(numbers[nodeId - 1] + "  ");  
48.         }  
49.     }  
50.   
51.     public static void main(String[] args) {  
52.         int[] numbers = new int[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };  
53.         for(int x = 0; x < numbers.length; x++) {  
54.             System.out.print(numbers[x] + "  ");  
55.         }  
56.         System.out.println();  
57.   
58.         BinTreeByArray tree = new BinTreeByArray(numbers);  
59.         System.out.print("先序遍历");  
60.         tree.preOrder(1);  
61.         System.out.println();  
62.         System.out.print("中序遍历");  
63.         tree.inOrder(1);  
64.         System.out.println();  
65.         System.out.print("后续遍历");  
66.         tree.postOrder(1);  
67.     }  
68. }  

用数组存储二叉树的一个常见应用就是堆排序，下文分解。