判断一个单链表是否有环及环的连接点

Posted 2023-02-14 Sup_Heaven

给定一个单链表，只给出头指针h：

1、如何判断是否存在环？

2、如何知道环的长度？

3、如何找出环的连接点在哪里？

4、带环链表的长度是多少？

 

解法：

1、对于问题1，使用追赶的方法，设定两个指针slow、fast，从头指针开始，每次分别前进1步、2步。如存在环，则两者相遇；如不存在环，fast遇到NULL退出。

2、对于问题2，记录下问题1的碰撞点p，slow、fast从该点开始，再次碰撞所走过的操作数就是环的长度s，当然也可以利用slow再次走到p。

3、问题3：有定理：碰撞点p到连接点的距离=头指针到连接点的距离，因此，分别从碰撞点、头指针开始走，相遇的那个点就是连接点。(证明在后面附注)。

4、问题3中已经求出连接点距离头指针的长度，加上问题2中求出的环的长度，二者之和就是带环单链表的长度。

代码如下

void Isloop(Node* head)
	if(!head||!head->next)
	return;
	Node* p,q;
	bool loop=false;
	 p=q=head->next;
	while(q&&q->next)//判断是否有环
		p=p->next;
		q=q->next->next;
		if(p==q)
			loop=true;
			break;
		
	
	if(!loop)
		cout<<"This link has not loop\\n";
	else
		cout<<"This link has a loop\\n";
		Node* r=p;
		q=head->next;
		int nonloop=1,loopcount=1;
		//nonloop计算非环结点数，loopcount计算环上结点数
		do//计算环上的结点数	
			p=p->next;
			++loopcount;
		while(p!=r);
		while(p!=q)//得到环的入口结点，同时计算得到非环的结点数
			p=p->next;
			q=q->next;
			++nonloop;
		
		cout<<"\\nStart of loop: "<<p->data<<endl;  
		cout<<"\\nCount of nonloop: "<<nonloop
		<<"\\nCount of loop: "<<loopcount
		<<"\\nCount of Linknode: "<<nonloop+loopcount<<endl;
	

问题3的证明

链表形状类似数字 6 。
假设甩尾（在环外）长度为 a（结点个数），环内长度为 b 。
则总长度（也是总结点数）为 a+b 。
从头开始，0 base 编号。
将第 i 步访问的结点用 S(i) 表示。i = 0, 1 ...
当 i＜a 时，S(i)=i ；
当 i≥a 时，S(i)=a+(i-a)%b 。

分析追赶过程:
两个指针分别前进，假定经过 x 步后，碰撞。则有：S(x)=S(2x)
由环的周期性有：2x=tb+x 。得到 x=tb 。（x,t不是可以随便变的变量，而是记号，分别记录了slow走了多少步和fast比slow多走了几圈）
另，碰撞时，必须在环内，不可能在甩尾段，有 x>=a 。

连接点为从起点走 a 步，即 S(a)。
S(a) = S(tb+a) = S(x+a)。(S(a) = S(tb+a) 和前面分析的S(x)=S(2x)无关，而是S(a) = S(nb+a)，当n为任何数的时候逗成立，当然为特定的t也是成立的)
得到结论：从碰撞点 x 前进 a 步即为连接点。

根据假设易知 S(a-1) 在甩尾段，S(a) 在环上，而 S(x+a) 必然在环上。所以可以发生碰撞。

综上，从 x 点和从起点同步前进，第一个碰撞点就是连接点。