陶哲轩实分析 3.5 节习题试解
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了陶哲轩实分析 3.5 节习题试解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
3.5.1
第一种定义：
(
x
,
y
)
:
=
x
,
x
,
y
(x,y) := \\\\x\\,\\x,y\\\\
(x,y):=x,x,y
(
x
′
,
y
′
)
:
=
x
′
,
x
′
,
y
′
(x',y'):=\\\\x'\\, \\x',y'\\\\
(x′,y′):=x′,x′,y′
当
x
=
x
′
,
y
=
y
′
x= x', y = y'
x=x′,y=y′ 时，很容易证明
x
,
x
,
y
=
x
′
,
x
′
,
y
′
\\\\x\\,\\x,y\\\\ = \\\\x'\\, \\x',y'\\\\
x,x,y=x′,x′,y′
因此我们只要证明当
x
,
x
,
y
=
x
′
,
x
′
,
y
′
\\\\x\\,\\x,y\\\\ = \\\\x'\\, \\x',y'\\\\
x,x,y=x′,x′,y′ 成立时，能推出
x
=
x
′
,
y
=
y
′
x= x', y = y'
x=x′,y=y′ 。
x
,
x
,
y
\\\\x\\,\\x,y\\\\
x,x,y 和
x
′
,
x
′
,
y
′
\\\\x'\\, \\x',y'\\\\
x′,x′,y′ 都是双元素集(或者都是单元素集)。 两个双元素集相等可以分两种情况。
x
=
x
′
\\x\\ = \\x'\\
x=x′ 或者
x
=
x
′
,
y
′
\\x\\ =\\x',y'\\
x=x′,y′ 下面分别来讨论。
- x = x ′ \\x\\ = \\x'\\ x=x′ 这时有 x = x ′ x=x' x=x′和 x , y = x ′ , y ′ \\x,y\\=\\x',y'\\ x,y=x′,y′ ，那么可知 y = y ′ y=y' y=y′
-
x
=
x
′
,
y
′
\\x\\ =\\x',y'\\
x=x′,y′ 这时说明
x
′
,
y
′
\\x',y'\\
x′,y′ 也是单元素集。所以
x
′
=
y
′
=
x
x' = y'=x
x′=y′=x，同理，
x
,
y
\\x,y\\
x,y 也是单元素集，
y
=
x
y = x
y=x
这两种情况下都有 x = x ′ , y = y ′ x = x', y = y' x=x′,y=y′
第二种定义：
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \\begin̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲̲ \\beginsplit …
证明这个定义也是有效的，还是需要从正反两方面来证明。
当
x
=
x
′
,
y
=
y
′
x= x', y = y'
x=x′,y=y′ 时，很容易证明
x
,
x
,
y
=
x
′
,
x
′
,
y
′
\\x,\\x,y\\\\ = \\x', \\x',y'\\\\
x,x,y=x′,x′,y′
难点还是在反方向的证明：假设
x
,
x
,
y
=
x
′
,
x
′
,
y
′
\\x,\\x,y\\\\ = \\x', \\x',y'\\\\
x,x,y=x′,x′,y′，如何证明
x
=
x
′
,
y
=
y
′
x= x', y = y'
x=x′,y=y′
由于等号两边都是双元素集(不能是单元素集，否则违反正则性)，所以还是分两种情况：
情形一：设
x
=
x
′
x=x'
x=x′ 这时有
x
,
y
=
x
′
,
y
′
\\x,y\\=\\x',y'\\
x,y=x′,y′ 必然能推出
y
=
y
′
y=y'
y=y′
情形二：设
x
=
x
′
,
y
′
x = \\x',y'\\
x=x′,y′ 这时
x
,
y
≠
x
′
,
y
′
\\x,y\\ \\neq\\x',y'\\
x,y=x′,y′ (否则违反正则性)。
那么
x
=
x
′
,
y
′
,
x
,
y
=
x
′
x = \\x',y'\\,\\x,y\\=x'
x=x′,y以上是关于陶哲轩实分析 3.5 节习题试解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章