基于NSGAII的多目标优化算法的MATLAB仿真

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了基于NSGAII的多目标优化算法的MATLAB仿真相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

UP目录

一、理论基础

二、核心程序

三、测试结果


一、理论基础

      NSGA-II适合应用于复杂的、多目标优化问题。是K-Deb教授于2002在论文:A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm:NSGA-II,中提出。在论文中提出的NSGA-II解决了NSGA的主要缺陷,实现快速、准确的搜索性能。NSGA的非支配排序的时间复杂度为O(MN3)O(MN3),在种群规模N较大时排序的速度会很慢。NSGA-II使用带精英策略的快速非支配排序,时间复杂度为O(M(2N)2)O(M(2N)2),排序速度有大幅的提升。而且使用了精英策略,保证了找到的最优解不会被抛弃,提高了搜索性能。另一方面NSGA使用共享函数来使解分布均匀,该函数依赖于共享参数σshareσshare的选择,而且共享函数的复杂度高达O(N2)O(N2)。NSGA-II从新定义了拥挤距离来代替共享参数。其算法流程如下:

步骤一:

       快速非支配排序。在选择运算之前,根据个体的非劣解水平对种群分级。具体方法为:将当前种群中所有非劣解个体划分为同一等级,令其等级为l;然后将这些个体从种群中移出,在剩余个体中找出新的非劣解,再令其等级为2;重复上述过程,直至种群中所有个体都被设定相应的等级。该算法有两部分组成,第一部分用于计算ni和Si。其中ni表示支配个体i的个体总数,Si表示个体i所支配的个体集合。第二部分用于求P1,P2,P3,....。Pi表示第i个前沿集合。

fast-nondominated-sort(Pop)

for each p ∈ Pop

 for each q ∈ Pop then

if ( p dominated q ) then  // p 支配 q

Sp = Sp ∪ q

else if ( q dominated p ) then // q 支配 p

np = np + 1

end for q

if ( np == 0 )  then P1 = P1 ∪ p

i = 1;

while(Pi != Ø )

 H = Ø

   for each p ∈ Pi

for each q ∈ Sp

nq = nq -1 ;

if (nq == 0) then H = H U{q}

end for p

i = i + 1;

Pi = H;

end for while

end for fast-nondominated-sort

步骤二:

       编码,和单独的遗传相同,具体见上面我的介绍。

步骤三:

      选择操作,经过排序和拥挤距离计算,群体中的每个个体i都得到2个属性:非支配序irank。和拥挤距离。id当irank<jrank或irank=jrank且id>jd时,i个体优于j个体。上式的意义为:如果2个个体的非支配排序不同,取序号低的个体(分级排序时,先被分离出来的个体);如果2个个体在同一级,取周围较不拥挤的个体。

一旦种群中的个体按照非支配性原则和聚集距离进行排序。个体的选择操作就可以进行。然后选择的操作的单目标遗传算法的选择过程进行。

步骤四:

       精英策略。精英策略即保留父代中的优良个体直接进入子代。采用的方法是:

①将父代Pt和子代Qt全部个成为一个种群

 ②将种群Rt快速非支配排序并计算每一个体局部拥挤距离,依据等级的高低逐一选取个体,直到个体数量达到N就形成了新的父代种群Pt+1;

③在基础上开始新一轮的选择、交叉和变异,形成新的子代种群Qt+1。

步骤五:

和前面的介绍一样,定义交叉概率和变异概率。

步骤六:

       进行交叉和变异,其杂交方式如下:

C1,k = 0.5*[ (1-βk)*P1,k + (1+βk)*P2,k)

C2,k = 0.5*[ (1+βk)*P1,k + (1-βk)*P2,k)

其中,Ci,k,表示第i个孩子第k维的值,Pi,k 表示第i个父个体第k维的值。βk是 满足一定概率密度分布的随机数。具体产生方式如下:

βk  = (2*u)1/(θ+1)                u <  0.5

       βk  = 1 / [2*(1-u)]1/(θ+1)     u ≥ 0.5

其中u是(0,1)直接的随机数,θ是个常量参数。

变异方式采用多项式变异。变异计算方式如下:

        其中的Ck是孩子个体,Pk是父个体,Pku 和Pkl,是第k维决策变量的定义域的上下限。δk是随机变量,满足多项式分布,其分布函数如下

δk = (2rk)1/(η+1) - 1   rk  <  0.5

 δk = 1 -[2(1-rk)]1/(η+1) rk  >= 0.5

公式中rk是满足(0,1)均匀分布的随机数,η 是变异分布参数。

       后代种群和当代种群混合,从中选择优秀的个体作为下一代种群。由于之前优秀的个体被加入混合种群中,因此,精英种群得到保护和继承。混合种群之后居于非支配性原则进行排序。下一代个体产生通过选择每个前沿集合中的个体,直到下一代种群的大小达到原来当代种群的大小。如果添加当前前沿集合Pi中的个体超过种群大小N,则从Pi中选择聚集距离大的个体。并不断重复上述的迭代操作,直到到终止条件。

二、核心程序

..................................................................
nvar=3;        %  number of variable
lb=[-4 -4 -4]; % lower bound
ub=[4 4 4];     % upper bound

npop=40;     % number of population


pc=0.7;       % percent of crossover
ncross=2*round(npop*pc/2);  % number of crossover offspring

pm=0.3;        %  percent of mutation
nmut=round(npop*pm);  % number of mutation offspring


maxiter=150;


%% initialization

empty.pos=[];
empty.cost=[];
empty.dcount=[];   % dominate count
empty.dset=[];     % dominate set
empty.rank=[];      
empty.cdis=[];      % crowding distance


pop=repmat(empty,npop,1);

for i=1:npop
    pop(i).pos=lb+rand(1,nvar).*(ub-lb);
    pop(i).cost=fitness(pop(i).pos);
end

[pop F]=non_dominated_sorting(pop);
pop=calculated_crowding_distance(pop,F);
pop=sorting(pop);

%% main loop

for iter=1:maxiter

    % crossover
    crosspop=repmat(empty,ncross,1);
     crosspop=crossover(crosspop,pop,ncross,F,nvar);
     
     % mutation
     mutpop=repmat(empty,nmut,1);
     mutpop=mutation(mutpop,pop,nmut,lb,ub,nvar);
     
     [pop]=[pop;crosspop;mutpop];
    
     [pop F]=non_dominated_sorting(pop);
      pop=calculated_crowding_distance(pop,F);
      pop=sorting(pop);
      
      pop=pop(1:npop);
      
      [pop F]=non_dominated_sorting(pop);
      pop=calculated_crowding_distance(pop,F);
      pop=sorting(pop);
      
      
      C=[pop.cost]';
      
      figure(1)
      plotpareto(F,C)
      
      
      
      disp([ ' iter =   '  num2str(iter) ' BEST F1 = ' num2str(min(C(:,1)))  ' BEST F2  = ' num2str(min(C(:,2))) ' NF1 = '  num2str(length(F1)) ]) 
    
%% results
pareto=pop(F1,:);
up70

三、测试结果

通过matlab2021a仿真结果如下:

以上是关于基于NSGAII的多目标优化算法的MATLAB仿真的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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