(leetcode) 2478. 完美分割的方案数( dp )

Posted 2023-01-25 issue是fw

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题意

把一个字符串切割为k段, 每段至少长minLength, 且段以一个质数开始, 以非质数结束.

问切割方案. ( n<=2000)

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定义$f[i][j]$表示把前$i$个字符分为$j$段的方案

这样每次转移需要枚举一个$q$让$[q+1,j]$自成一段, 转移为

$$f[i][j]+=f[q][j-1]$$

复杂度为$O(n^3)$, 不过这个转移显然是可以优化的.

观察这个转移, 符合条件的$q$是

$$q<=i-minLength\&\&s[q]\in [2,3,5,7]$$

那么新开一个前缀和数组, $pre[i][j]=\sum _{q<=i\&\&s[q]\in [2,3,5,7]}f[q][j]$(这里$s[q]$表示第$q+1$个字符)

转移为(当$s[i-1]$不为质数时)

$$f[i][j]=pre[i-minLength][j-1]$$

然后其实这个$pre$数组很好维护. 因为根据转移, 用到的$i-minLength$是递增的

所以此时可以把$pre[i-minLength][.....]$的值视为已知, 转移为

$$pre[i][j-1]=pre[i-1][j-1]+f[i-minLength][j-1]$$

复杂度$O(n^2)$

class Solution 
public:
    static const int maxn = 2009;
    const int mod = 1e9+7;
    int pre[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
    bool iszhi(char c)
        int x = c-'0';
        if( x!=2 && x!=3 && x!=5 && x!=7 )
            return false;
        return true;
    
    int beautifulPartitions(string s, int k, int minLength) 
        /*
        f[i][j]表示前i个字符分为j段的方案
        从f[q][j-1]转移而来, 要求q+1是质数, j是非质数

        pre[x][j]表示q<=x, 且x+1为质数的f[q][j]和
        */
        f[0][0] = 1;
        int n = s.size();
        for(int i=minLength;i<=n;i++)
            int zhi = iszhi( s[i-1] );
            int x = i-minLength;
            for(int j=1;j<=i;j++)
                if( x-1>=0 )
                    pre[x][j-1] = pre[x-1][j-1];
                if( iszhi( s[i-minLength] ) )
                    pre[x][j-1] = ( pre[x][j-1]+f[i-minLength][j-1] )%mod;
                if( !zhi )
                    f[i][j] = pre[i-minLength][j-1]; // f[q][j-1]的和, 满足q+1为质数
                if( iszhi( s[i] ) ) pre[i+minLength][j] += f[i][j];
            
        
        return f[n][k];
    
;