穿越万年的轮回[期望dp]

Posted 2023-01-21 solemntee

首先我们设置$d{p}_{i,0/1,0/1}$表示经过$i$次操作之后开头为$red/edr$，结尾为$red/edr$的串的期望$red$字符串个数。
然后我们考虑转移：
首先我们要来思考一下期望的本质，这样一个状态，我们以$d{p}_{i,0,0}$为例，里面可能有很多种情况，比如串$"redred"$和串$"rededrred"$每一种有一个概率和贡献，假设有$n$种情况，每一种的概率是$p_i$，贡献是$X_i$，那么
$$d{p}_{i,0,0}=\sum _{i=1}{p}_i{X}_i$$
那么我们考虑在这个状态后面接上一个$"red"$串，也就是第一种操作，这里面的串的概率和贡献会如何变化呢？
对于上述的一个状态$p_i{X}_i$，加上一个$"red"$串之后贡献$X_i$变为$X_i+1$，概率$P_i$变为$\frac{P_i}{3}$所以这样一种转移让
$$d{p}_{i+1,0,0}+=\sum _{i=1}\frac{p_i}{3}(X_i+1)=\sum _{i=1}\frac{p_i{X}_i}{3}+\sum _{i=1}\frac{p_i}{3}$$
所以我们再记录一个$p_{i,0/1,0/1}$表示经过$i$次操作之后开头为$red/edr$，结尾为$red/edr$的串的概率，即可转移。
第二种操作和第三种操作同理可以得到：
对于四种情况各自分类讨论即可。但值得注意的是空串不在我们的考虑范围内，得提出来单独计算。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll poww(ll a,ll b)
    ll t=1;
    while(b)
        if(b&1)t=t*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    
    return t;

void add(int &a,int b)
    a+=b;
    if(a>=mod)a-=mod;

void del(int &a,int b)
    a-=b;
    if(a<0)a+=mod;

const int M=2e5+50;
int dp[M][2][2];
int P[M][2][2];

int main()

    int k;
    scanf("%d",&k);
    //P[0][0][0]=1;
    int inv3=poww(3,mod-2);

    int P0=1;
    for(int i=0;i<k;i++)
        //printf("%d %d %d %d\\n",P[i][0][0],P[i][0][1],P[i][1][0],P[i][1][1]);

        
            add(dp[i+1][0][0],1ll*P0*inv3%mod);
            add(P[i+1][0][0],1ll*P0*inv3%mod);

            if(i>=1)
                add(dp[i+1][1][0],1ll*inv3*P0%mod);
                add(P[i+1][1][0],1ll*P0*inv3%mod);

                add(dp[i+1][1][1],1ll*inv3*P0%mod);
                add(P[i+1][1][1],1ll*P0*inv3%mod);

                add(dp[i+1][1][1],1ll*9*inv3%mod*P0%mod);
                add(P[i+1][1][1],1ll*P0*inv3%mod);
            

            P0=1ll*P0*inv3%mod;
        



        // red...red
        add(dp[i+1][0][0],((1ll*dp[i][0][0]*inv3%mod)+1ll*P[i][0][0]*inv3%mod)%mod);
        add(P[i+1][0][0],1ll*P[i][0][0]*inv3%mod);

        add(dp[i+1][0][1],1ll*dp[i][0][0]%mod*inv3%mod);
        add(P[i+1][0][1],1ll*P[i][0][0]*inv3%mod);

        add(dp[i+1][0][0],10ll*dp[i][0][0]%mod*inv3%mod);
        add(P[i+1][0][0],1ll*P[i][0][0]*inv3%mod);



        // red..edr dp[0][1]

        add(dp[i+1][0][0],((1ll*dp[i][0][1]*inv3%mod)+1ll*P[i][0][1]*inv3%mod)%mod);
        add(P[i+1][0][0],1ll*P[i][0][1]*inv3%mod);


        add(dp[i+1][0][1],((1ll*dp[i][0][1]*inv3%mod)+1ll*P[i][0][1]*inv3%mod)%mod);
        add(P[i+1][0][1],1ll*P[i][0][1]*inv3%mod);

        add(dp[i+1][0][1],(1ll*(10ll*dp[i][0][1])%mod*inv3%mod));
        add(P[i+以上是关于穿越万年的轮回[期望dp]的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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