粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到 粒子滤波—Part-III（重要性采样&序贯重要性采样SIS）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到 粒子滤波—Part-III（重要性采样&序贯重要性采样SIS）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波—Part-III（重要性采样&序贯重要性采样SIS）
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粒子滤波PF—从贝叶斯滤波到粒子滤波PF—Part-III（重要性采样&序贯重要性采样SIS）
在非线性条件下，贝叶斯滤波面临一个重要问题是状态分布的表达和积分式的求解，由前面章节中的分析可知,对于一般的非线性/非高斯系统,解析求解的途径是行不通的。在数值近似方法中，蒙特卡罗仿真是一种最为通用、有效的手段，粒子滤波就是建立在蒙特卡罗仿真基础之上的，它通过利用一组带权值的系统状态采样来近似状态的统计分布。由于蒙特卡罗仿真方法具有广泛的适用性，由此得到的粒子滤波算法也能适用于一般的非线性/非高斯系统。但是，这种滤波方法也面临几个重要问题，如有效采样(粒子)如何产生、粒子如何传递以及系统状态的序贯估计如何得到等。
简单的理解，粒子滤波就是使用了大量的随机样本，采用蒙特卡洛(MonteCarlo，MC)仿真技术完成贝叶斯递推滤波(Recursive Bayesian Filter)过程。因此本博客从贝叶斯滤波出发，简单介绍粒子滤波PF的出生、即应用
核心思想：是使用一组具有相应权值的随机样本(粒子)来表示状态的后验分布。该方法的基本思路是选取一个重要性概率密度并从中进行随机抽样，得到一些带有相应权值的随机样本后，在状态观测的基础上调节权值的大小。和粒子的位置，再使用这些样本来逼近状态后验分布，最后将这组样本的加权求和作为状态的估计值。粒子滤波不受系统模型的线性和高斯假设约束，采用样本形式而不是函数形式对状态概率密度进行描述，使其不需要对状态变量的概率分布进行过多的约束，因而在非线性非高斯动态系统中广泛应用。尽管如此，粒子滤波目前仍存在计算量过大、粒子退化等关键问题亟待突破。
1、贝叶斯滤波
**贝叶斯滤波细节 见Part-I**
考虑离散时间非线性系统动态模型，
x
k
=
f
(
x
k
−
1
,
w
k
−
1
)
z
k
=
h
(
x
k
,
v
k
)
(1)
x_k=f(x_k-1,w_k-1) \\\\ z_k=h(x_k,v_k ) \\tag1
xk=f(xk−1,wk−1)zk=h(xk,vk)(1)
其中
x
k
x_k
xk为
k
k
k时刻的目标状态向量，
z
k
z_k
zk为
k
k
k时刻量测向量（传感器数据）。这里不考虑控制器
u
k
u_k
uk。
w
k
w_k
wk和
v
k
v_k
vk分别是过程噪声序列和量测噪声序列。
w
k
w_k
wk和
v
k
v_k
vk为零均值高斯白噪声。
定义
1
1
1 ~
k
k
k时刻对状态
x
k
x_k
xk的所有测量数据为
z
k
=
[
z
1
T
,
z
2
T
,
⋯
,
z
k
T
]
T
z^k=[z_1^T,z_2^T,\\cdots,z_k^T]^T
zk=[z1T,z2T,⋯,zkT]T
根据Part-I，
k
k
k时刻状态
x
k
x_k
xk的后验概率密度函数:
p
(
x
k
∣
z
k
)
=
p
(
z
k
∣
x
k
)
p
(
x
k
∣
z
k
−
1
)
p
(
z
k
∣
z
k
−
1
)
p(x_k |z^k)=\\fracp(z_k |x_k)p(x_k |z^k-1)p(z_k |z^k-1)
p(xk∣zk)=p(zk∣zk−1)p(zk∣xk)p(xk∣zk−1)
通过后验分布
p
(
x
k
∣
z
k
)
p(x_k |z^k)
p(xk∣zk)可以得到
x
k
x_k
xk的最小均方误差(MMSE)估计为
x
^
k
=
E
[
x
k
∣
z
k
]
=
∫
x
k
p
(
x
k
∣
z
k
)
d
x
k
(2)
\\hatx_k=E[x_k|z_k]=\\int x_kp(x_k |z^k) dx_k \\tag2
x^k=E[xk∣zk]=∫xkp(xk∣zk)dxk(2)
2、 蒙特卡洛方法MC
**蒙特卡洛近似方法细节 见Part-I**
根据Part-II蒙特卡洛方法，
x
k
(
i
)
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
N
x_k^(i), i=1,2,\\cdots,N
xk(i),i=1,2,⋯,N表示从后验概率分布函数
p
(
x
k
∣
z
k
)
p(x_k |z^k)
p(xk∣zk)采样得到的
N
N
N个独立同分布的样本，则状态的后验概率密度可以通过如下经验公式近似得到:
p
(
x
k
∣
z
k
)
=
1
N
∑
i
=
1
N
δ
(
x
k
−
x
k
(
i
)
)
p(x_k |z^k)=\\frac1N\\sum_i=1^N\\delta(x_k-x_k^(i))
p(xk∣zk)=N1i=1∑Nδ(xk−xk(i))
同时后验条件期望可近似表示为
x
^
k
=
E
[
x
k
∣
z
k
]
≈
E
^
[
x
k
∣
z
k
]
≈
1
N
∑
i
=
1
N
x
k
(
i
)
,
E
[
g
(
x
k
)
∣
z
k
]
≈
E
^
[
g
(
x
k
)
∣
z
k
]
≈
1
N
∑
i
=
1
N
g
(
x
k
(
i
)
)
(3)
\\hatx_k=E[x_k|z^k]\\approx\\hatE[x_k|z^k]\\approx\\frac1N\\sum_i=1^Nx_k^(i), \\tag3\\\\ E[g(x_k)|z^k]\\approx\\hatE[g(x_k)|z^k]\\approx\\frac1N\\sum_i=1^Ng(x_k^(i))
x^k=E[xk∣zk]≈以上是关于粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到 粒子滤波—Part-III（重要性采样&序贯重要性采样SIS）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I（贝叶斯滤波）
粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I（贝叶斯滤波）
粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I（贝叶斯滤波）
粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I（贝叶斯滤波）