量子计算:量子计算原理
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量子计算原理
经典计算中,最基本的单元是比特,而最基本的控制模式是逻辑门,可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。类似地,处理量子比特的方式就是量子逻辑门,使用量子逻辑门,有意识的使量子态发生演化,所以量子逻辑门是构成量子算法的基础。
一、酉变换
酉变换是一种矩阵,也是一种操作,它作用在量子态上得到的是一个新的量子态。使用U来表达酉矩阵,U+表示酉矩阵的转置复共轭矩阵,二者满足运算关系UU+=I,所以酉矩阵的转置复共轭矩阵也是一个酉矩阵 ,说明酉变换是一种可逆变换。
一般酉变换在量子态上的作用是变换矩阵左乘以右矢进行计算的。例如一开始有一个量子态|〉,经过酉变换U之后得到
或者也可以写为
由此可见,两个矢量的内积经过同一个酉变换之后保持不变。
类似地,也可以通过酉变换表示密度矩阵的演化
这样就连混合态的演化也包含在内了。
二、矩阵的指数函数
一旦定义了矩阵乘法,就可以利用函数的幕级数来定义矩阵的函数,这其中就包含矩阵的指数函数。如果A是一个矩阵,那么...就为矩阵A的指数函数形式。
如果A是一个对角矩阵,即A=diag(A11,A22,A33,...),则由此验证
从而得到
如果A不是一个对角矩阵,则利用酉变换可以将它对角化,D=UAU+,从而有
那么,类似地
必须要引起注意的是
当A是表示数的时候等号是成立的,那么,当A表示是矩阵时,等式成立要满足什么条件?
通常,下面这种表达形式被称之为以A为生成元生成的酉变换
这种矩阵的指数运算可以利用数值计算软件Matlab中的expm,或者Mathematica中的MatrixExp命令进行方便地计算。
三、单位矩阵
以单位矩阵为生成元,可以构建一种特殊的酉变换。
它作用在态矢上面,相当于对于态矢整体(或者说每个分量同时)乘以一个系数。如果将这种态矢带入到密度矩阵的表达式中,会发现这一项系数会被消去。
这项系数称为量子态的整体相位。因为任何操作和测量都无法分辨两个相同的密度矩阵,所以量子态的整体相位一般情况下是不会对系统产生任何影响的。
四、单量子比特逻辑门
在经典计算机中,单比特逻辑门只有一种-非门(NOTgate),但是在量子计算机中,量子比特情况相对复杂,存在叠加态、相位,所以单量子比特逻辑门会有更加丰富的种类。
五、泡利矩阵
泡利矩阵(Pauli matrices)有时也被称作自旋矩阵(spin matrices)。有以下三种形式分别是
三个泡利矩阵所表示的泡利算符代表着对量子态矢量最基本的操作。如将作用到|0〉态上,经过矩阵运算,得到的末态为|1〉态。泡利矩阵的线性组合是完备的二维酉变换生成元,即所有满足UU+=I的U都能通过下面这种方式得到
介绍单量子逻辑门时,会使用下图来表示。
横线表示一个量子比特从左到右按照时序演化的路线,方框表示量子逻辑门,这个图标表示一个名为U的逻辑门作用在这条路线所代表的量子比特上。对于一个处于|〉的量子态,将这个量子逻辑门作用在上面时,相当于将这个量子逻辑门代表的酉矩阵左乘这个量子态的矢量,然后得到下一个时刻的量子态|〉。即
这个表达式对于所有的单比特门或者多比特门都是适用的。对于一个有n个量子比特的量子系统,它的演化是通过一个的酉矩阵来表达。
六、常见逻辑门
注意:各个逻辑门的含义会在下一篇详细讲解
- Hadamard(H)门
- Pauli-X 门
- Pauli-Y 门
- Pauli-Z 门
- 旋转门(rotation operators)
- 多量子比特逻辑门
- CNOT 门
- CR 门
- iSwAP 门
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