AtCoder Beginner Contest 277 G（概率dp+计数）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了AtCoder Beginner Contest 277 G（概率dp+计数）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
\\quad
题目大意：无向图有n个点m条边，人物初始level为0，初始在1号点，图上点有两种类型点0和1,遇到0会level++，遇到1会收益 +=
l
e
v
e
l
2
level^2
level2，求k步内的收益期望(n<=3000,m<=3000)
\\quad
Solution:
\\quad
一般期望题先考虑倒推，但是此题终态有点难定义（好像也有倒退做法）。考虑从定义角度入手。
\\quad
观察一种走法，设w为一种走法线路，f(w)表示走法的收益,
f
(
w
)
=
∑
i
=
1
l
e
n
X
i
2
f(w) = \\sum_i=1^lenX_i^2
f(w)=∑i=1lenXi2，其中
X
i
X_i
Xi表示到i点的等级,而
X
i
=
∑
j
=
1
i
[
c
j
=
0
]
,
所
以
X
i
2
=
∑
j
=
1
i
∑
k
=
j
i
[
c
j
=
0
a
n
d
c
k
=
0
]
X_i = \\sum_j=1^i[c_j=0],所以X_i^2=\\sum_j=1^i\\sum_k=j^i[c_j=0 \\quad and \\quad c_k=0]
Xi=∑j=1i[cj=0],所以Xi2=∑j=1i∑k=ji[cj=0andck=0],c表示点的类型。期望的计算
E
(
w
)
=
f
(
w
)
∗
∏
u
=
1
l
e
n
−
1
1
d
e
g
(
u
)
=
∑
u
=
1
l
e
n
X
u
2
∗
∏
v
=
1
u
−
1
1
d
e
g
(
v
)
=
∑
u
=
1
l
e
n
∏
v
=
1
u
−
1
1
d
e
g
(
v
)
∗
∑
j
=
1
u
∑
k
=
j
u
[
c
j
=
=
0
&
&
c
k
=
0
]
E(w)=f(w)*\\prod_u=1^len-1 \\frac1deg(u) = \\sum_u=1^lenX_u^2 * \\prod_v=1^u-1\\frac1deg(v) = \\sum_u=1^len \\prod_v=1^u-1\\frac1deg(v) *\\sum_j=1^u \\sum_k=j^u[c_j==0 \\&\\&c_k=0]
E(w)=f(w)∗∏u=1len−1deg(u)1=∑u=1lenXu2∗∏v=1u−1deg(v)1=∑u=1len∏v=1u−1deg(v)1∗∑j=1u∑k=ju[cj==0&&ck=0],其中deg(u)表示u点出度,这样一来就转化成计数问题了。
\\quad
可以用dp来计数,
d
p
i
,
j
,
0
/
1
,
0
/
1
dp_i,j,0/1,0/1
dpi,j,0/1,0/1表示走j步到了i点，上面那个柿子，点对类型为(0/1,0/1)的求和。
\\quad
转移的话，这里贴个代码吧，感觉更清楚
复杂度
O
(
n
∗
m
a
x
(
n
,
m
)
)
O(n*max(n,m))
O(n∗max(n,m))
_for(i,0,k-1)
_for(j,1,n)
for(int u:G[j])
for(int a=0 ;a<2 ;a++)
for(int b=0 ;b<2 ;b++)
for(int na=a; na<2 ;na++)
for(int nb=b ; nb<2 ;nb++)
//下一步c[u]=1的话,na,nb不能变
if( c[u] && (na!=a || nb!=b) ) continue;
f[i+1][u][na][nb] = (f[i+1][u][na][nb] + i_du[j]*f[i][j][a][b]%mod)%mod;
下一个点类型为1的时候，转移有限制。
\\quad
答案就是
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
k
d
p
i
,
j
,
1
,
1
\\sum_i=1^n\\sum_j=1^kdp_i,j,1,1
∑i=1n∑j=1kdpi,j,1,1
（代码写的dp[j][i][1/0][1/0]，前两维反了一下，懒得改了
完整代码
int c[N],i_du[N];
std::vector<int> G[N];
int f[N][N][2][2];
//第i步，到j的概率和，[0/1][0/1]，表示点对(x,y)
ll qsm(int a,int b)
ll ans = 1 , tmp = a;
while( b )
if( b&1 ) ans = ans * tmp%mod;
tmp = tmp * tmp%mod;
b>>=1;
return ans;
signed main()
ios;
int n,m,k;cin>>n>>m>>k;
_for(i,1,m)
int u,v;cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
_for(i,1,n)
cin>>c[i];
i_du[i] = qsm((int)G[i].size(),mod-2);
//起点在1
f[0][1][0][0] = 1;
//枚举前i步
_for(i,0,k-1)
_for(j,1,n)
for(int u:G[j])
for(int a=0 ;a<2 ;a++)
for(int b=0 ;b<2 ;b++)
for(int na=a; na<2 ;na++)
for(int nb=b ; nb<2 ;nb++)
//下一步c[u]=1的话,na,nb不能变
if( c[u] && (na!=a || nb!=b) ) continue;
f[i+1][u][na][nb] = (f[i+1][u][na][nb] + i_du[j]*f[i][j][a][b]%mod)%mod;
int ans = 0;
_for(i,1,k)以上是关于AtCoder Beginner Contest 277 G（概率dp+计数）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
AtCoder Beginner Contest 115 题解