计算不可约多项式的阶

Posted 2022-12-14 Zetaa

前言：仅个人小记。这里直接讨论不可约多项式，仅简要交代计算不可约多项式的阶基本方法。具体还是要枚举。计算不可约多项式的阶显然有很多用处，其中一个就是可以根据不可约多项式的阶来判定该多项式是否是一个本原多项式。

以例子作为说明

计算$p(x)=x^4+x+1$在域$F_2$上的阶。
记$p(x)$的阶为 v。
事实一：$p(x)|x^v-1$。
事实二：$v|q^d-1$。其中，q是域的特征，d是$p(x)$的度。

根据以上两个事实，显然可以迅速降低枚举次数。
即，因为不可约多项式$p(x)$的阶$v$得是一个$q^d-1$的因子。所以我们从小到大枚举$q^d-1$的因子，然后将该因子值代入$v$，判断是否$p(x)|x^v-1$成立，如果成立则结束，否则继续枚举下一个因子。