人工智能数学基础--概率与统计12:连续随机变量的概率密度函数以及正态分布
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了人工智能数学基础--概率与统计12:连续随机变量的概率密度函数以及正态分布相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
一、连续随机变量的概率密度函数的定义
- 在《人工智能数学基础–概率与统计10:离散随机变量的概率函数及常见的二项分布、泊松分布》介绍了概率分布函数的概念:设X为随机变量(包括离散和非离散),则函数:P(X≤x) = F(x) (-∞ < x <∞) 称为X的分布函数;
- 设连续随机变量X有概率分布函数F(x),则F(x)的导数f(x)=F’(x)称为X的概率密度函数,简称为密度函数。
二、连续随机变量的概率密度函数的性质
连续随机变量X的密度函数f(x)具有以下三条基本性质:
- f(x)≥0;
- ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d ( x ) = 1 \\int^+∞_-∞f(x)d(x) = 1 ∫−∞+∞f(x)d(x)=1
- 对任何常数a小于b,有: P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d ( x ) P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)=\\int^b_af(x)d(x) P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)=∫abf(x)d(x)
三、 正态分布
3.1、定义
如果一个随机变量具有如下概率密度函数:
f
(
x
)
=
(
2
π
σ
)
−
1
e
−
(
x
−
u
)
2
2
σ
2
(
−
∞
<
x
<
∞
)
\\Large f(x) = (\\sqrt2π \\;σ )^-1e^-\\frac(x-u)^22σ^2 \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;(-∞<x<∞)
f(x)=(2πσ)−1e−2σ2(x−u)2(−∞<x<∞)
则称X为正态随机变量,并且记为:X ~ N(u,σ²),其中u和σ²都是常数,u为任何实数,0<σ<∞(原书写的是σ²,老猿认为应该是σ大于0),u和σ²为正态分布的“参数”。
3.2、正态分布是一个概率密度函数的证明
要证明正态分布f(x)是一个概率密度函数,就是要证明:
- f(x)≥0,由于σ大于0,因此f(x)显然大于等于0;
-
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
,
即
∫
−
∞
∞
(
2
π
σ
)
−
1
e
−
(
x
−
u
)
2
2
σ
2
d
x
=
1
∫^∞_-∞f(x)dx=1,即∫^∞_-∞ (\\sqrt2π \\;σ )^-1e^-\\frac(x-u)^22σ^2dx=1
∫−∞∞f(x)dx=1,即∫−∞∞(2πσ)−1e−2σ2(x−u)2dx=1
进行变量代换,设t=(x-u)/σ,则需要证明: ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t = 2 π ∫^∞_-∞ e^-\\fract^22dt= \\sqrt2π ∫−∞∞e−2t2dt=2π
\\\\
以上是关于人工智能数学基础--概率与统计12:连续随机变量的概率密度函数以及正态分布的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章 人工智能数学基础--概率与统计13:连续随机变量的标准正态分布 人工智能数学基础--概率与统计13:连续随机变量的标准正态分布 人工智能数学基础--概率与统计14:连续随机变量的指数分布威布尔分布和均匀分布
老猿注:首先说明为什么是要证明
∫
−
∞
∞
e
−
t
2
2
d
t
=
2
π
∫^∞_-∞ e^-\\fract^22dt= \\sqrt2π
∫−∞∞e−2t2dt=2π
∵
∫
(
2
π
σ
)
−
1
e
−
(
x
−
u
)
2
2
σ
2
d
x
∴
(
2
π
)
−
1
∫
e
−
(
x
−
u
)
2
2
σ
2
d
x
σ
∴
(
2
π
)
−
1
∫
e
−
t
2
2
d
(
t
−
u
σ
)
∴
即
要
证
明
:
I
=
∫
−
∞
∞
e
−
t
2
2
d
t
=
2
π
∵∫(\\sqrt2π \\;σ )^-1e^-\\frac(x-u)^22σ^2 dx\\\\∴(\\sqrt2π )^-1∫e^-\\frac(x-u)^22σ^2 d\\fracxσ\\\\∴(\\sqrt2π )^-1∫e^-\\fract^22 d(t-\\fracuσ)\\\\∴即要证明:I = ∫^∞_-∞ e^-\\fract^22dt= \\sqrt2π
∵∫(2πσ)−1e−2σ2(x−u)2dx∴(2π)−1∫e−2σ2(x−u)2dσx∴(2π)−1∫e−2t2d(t−σu)∴即要证明:I=∫−∞∞e−2t2dt=2π
接下来进行该式证明:
由于积分变量不影响积分结果,可以得到:
I
²
=
∫
−
∞
∞
e
−
t
2
2
d
t
∫