人工智能数学基础--概率与统计12:连续随机变量的概率密度函数以及正态分布

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了人工智能数学基础--概率与统计12:连续随机变量的概率密度函数以及正态分布相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、连续随机变量的概率密度函数的定义

  1. 在《人工智能数学基础–概率与统计10:离散随机变量的概率函数及常见的二项分布、泊松分布》介绍了概率分布函数的概念:设X为随机变量(包括离散和非离散),则函数:P(X≤x) = F(x) (-∞ < x <∞) 称为X的分布函数
  2. 设连续随机变量X有概率分布函数F(x),则F(x)的导数f(x)=F’(x)称为X的概率密度函数,简称为密度函数

二、连续随机变量的概率密度函数的性质

连续随机变量X的密度函数f(x)具有以下三条基本性质:

  1. f(x)≥0;
  2. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d ( x ) = 1 \\int^+∞_-∞f(x)d(x) = 1 +f(x)d(x)=1
  3. 对任何常数a小于b,有: P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d ( x ) P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)=\\int^b_af(x)d(x) P(aXb=F(b)F(a)=abf(x)d(x)

三、 正态分布

3.1、定义

如果一个随机变量具有如下概率密度函数:
f ( x ) = ( 2 π    σ ) − 1 e − ( x − u ) 2 2 σ 2                      ( − ∞ < x < ∞ ) \\Large f(x) = (\\sqrt2π \\;σ )^-1e^-\\frac(x-u)^22σ^2 \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;(-∞<x<∞) f(x)=(2π σ)1e2σ2(xu)2(<x<
则称X为正态随机变量,并且记为:X ~ N(u,σ²),其中u和σ²都是常数,u为任何实数,0<σ<∞(原书写的是σ²,老猿认为应该是σ大于0),u和σ²为正态分布的“参数”。

3.2、正态分布是一个概率密度函数的证明

要证明正态分布f(x)是一个概率密度函数,就是要证明:

  1. f(x)≥0,由于σ大于0,因此f(x)显然大于等于0;
  2. ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 , 即 ∫ − ∞ ∞ ( 2 π    σ ) − 1 e − ( x − u ) 2 2 σ 2 d x = 1 ∫^∞_-∞f(x)dx=1,即∫^∞_-∞ (\\sqrt2π \\;σ )^-1e^-\\frac(x-u)^22σ^2dx=1 f(x)dx=1(2π σ)1e2σ2(xu)2dx=1
    进行变量代换,设t=(x-u)/σ,则需要证明: ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t = 2 π ∫^∞_-∞ e^-\\fract^22dt= \\sqrt2π e2t2dt=2π

\\\\
老猿注:首先说明为什么是要证明 ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t = 2 π ∫^∞_-∞ e^-\\fract^22dt= \\sqrt2π e2t2dt=2π
∵ ∫ ( 2 π    σ ) − 1 e − ( x − u ) 2 2 σ 2 d x ∴ ( 2 π ) − 1 ∫ e − ( x − u ) 2 2 σ 2 d x σ ∴ ( 2 π ) − 1 ∫ e − t 2 2 d ( t − u σ ) ∴ 即 要 证 明 : I = ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t = 2 π ∵∫(\\sqrt2π \\;σ )^-1e^-\\frac(x-u)^22σ^2 dx\\\\∴(\\sqrt2π )^-1∫e^-\\frac(x-u)^22σ^2 d\\fracxσ\\\\∴(\\sqrt2π )^-1∫e^-\\fract^22 d(t-\\fracuσ)\\\\∴即要证明:I = ∫^∞_-∞ e^-\\fract^22dt= \\sqrt2π (2π σ)1e2σ2(xu)2dx(2π )1e2σ2(xu)2dσx(2π )1e2t2d(tσu)I=e2t2dt=2π
接下来进行该式证明:
由于积分变量不影响积分结果,可以得到: I ² = ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t ∫

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