每日一题局部最小值问题

Posted 2022-12-12 唐宋xy

局部最小值问题

题目

给定一个无序数组，相邻的数并不相等，那么就会产生很多个局部最小的值，找到任意一个局部最小的值的位置返回

局部最小：一个数满足小于相邻的左边的数和小于相邻的右边的数

例如：arr=[5,2,3,1,4,6,10,9,20]， 返回：2或1或9任意一个都可以

解析

• 关键字：无序数组、相邻的数不相等、找到任意一个局部最小

• 使用的算法：因为给定的是无序数组，所以看起来不符合前面说到的可以直接使用二分查找算法，但是根据题意，可以将计算的逻辑分为两种情况：

  • 第一种：直接判断第一个数或最后一个数是否小于相邻的数，如果小于，那么直接返回

  • 第二种：如果第一个数和最后一个数都不小于相邻的数，那么数组的趋势如下所示：

    

    开头和结尾的趋势是下降和上升，那么我们是否在中间的位置找到一个上升或下降的位置，就找到了局部最小。如何快速的找到对应的位置呢？

  • 还是可以使用二分查找法，不过这里只是用二分查找的框架流程，具体的判断条件是单独实现

• 算法逻辑：

  1. 判断第一个数和最后一个数是否为局部最小的数

  2. 如果不是，那么查看中间的数mid和相邻的数进行比较

     • 如果大于mid-1，那么继续向左边的子数组递归寻找

       因为右边可能是连续上升的一连串数，而左边的子数组是有下降和上升两种不同的趋势，所以必定有局部最小值
       

     • 如果大于mid+1，那么继续向右边的子数组递归寻找

       因为左边有两个下降，所以可能左边都是连续下降的一连串数，而右边的子数组是有下降以及后面的上升的两种不同的趋势，所以必定是有局部最小值
       

• 代码实现

public static int getLessIndex(int[] arr) 
    if(arr == null || arr.length == 0) 
        return -1;
    
    // 判断开头的数是否满足局部最小
    if(arr.length == 1 || arr[0] < arr[1]) 
        return 0;
    
    // 判断结尾的数是否满足局部最小
    if(arr[arr.length - 1] < arr[arr.length - 2]) 
        return arr.length - 1;
    
    // 如果到这里，那么说明0~1是下降的， arr.length-2 ~ arr.length-1是上升的，那么在数组的中间必定有局部最小的数
    // 直接二分查找
    int L = 1;
    int R = arr.length - 2;
    while (L <= R) 
        int mid = L + ((R - L) >> 1);
        if(arr[mid] > arr[mid + 1]) 
   			// 向右边子数组继续找
            L = mid + 1;
         else if(arr[mid] > arr[mid - 1]) 
            // 说明当前的趋势是上升的，因为前两个数是下降的，所以向左边数组寻找
            R = mid - 1;
         else 
            // 因为题目中说明了没有相等的数，说明mid小于左边并且也小于右边，直接返回
            return mid;
        
    
    return -1;