组合数元组编号
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了组合数元组编号相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
前言：仅个人小记。
问题描述
如何遍历
n
n
n个点中的所有
4
4
4元组呢，即如何遍历
(
n
4
)
\\binomn4
(4n)个不同的四元组呢？举例：
n
=
6
n=6
n=6，则所有的
4
4
4元组共有
(
6
4
)
=
15
\\binom64=15
(46)=15个，具体为
(
1
,
2
,
3
,
4
)
(
1
,
2
,
3
,
5
)
(
1
,
2
,
3
,
6
)
(
1
,
2
,
4
,
5
)
(
1
,
2
,
4
,
6
)
(
1
,
2
,
5
,
6
)
(
1
,
3
,
4
,
5
)
(
1
,
3
,
4
,
6
)
(
1
,
3
,
5
,
6
)
(
1
,
4
,
5
,
6
)
(
2
,
3
,
4
,
5
)
(
2
,
3
,
4
,
6
)
(
2
,
4
,
5
,
6
)
(
3
,
4
,
5
,
6
)
(1,2,3,4)\\\\(1,2,3,5)\\\\(1,2,3,6)\\\\(1,2,4,5)\\\\(1,2,4,6)\\\\(1,2,5,6)\\\\(1,3,4,5)\\\\(1,3,4,6)\\\\(1,3,5,6)\\\\(1,4,5,6)\\\\(2,3,4,5)\\\\(2,3,4,6)\\\\(2,4,5,6)\\\\(3,4,5,6)
(1,2,3,4)(1,2,3,5)(1,2,3,6)(1,2,4,5)(1,2,4,6)(1,2,5,6)(1,3,4,5)(1,3,4,6)(1,3,5,6)(1,4,5,6)(2,3,4,5)(2,3,4,6)(2,4,5,6)(3,4,5,6)
现在，因为编程需要(必须需要对这些四元组给出一个序关系，便于比较等操作)，故而希望对这些四元组进行编号，使得对四元组的操作转化为对一元编号的操作。具体地效果希望如下
(
1
,
2
,
3
,
4
)
→
1
(
1
,
2
,
3
,
5
)
→
2
(
1
,
2
,
3
,
6
)
→
3
(
1
,
2
,
4
,
5
)
→
4
(
1
,
2
,
4
,
6
)
→
5
(
1
,
2
,
5
,
6
)
→
6
(
1
,
3
,
4
,
5
)
→
7
(
1
,
3
,
4
,
6
)
→
8
(
1
,
3
,
5
,
6
)
→
9
(
1
,
4
,
5
,
6
)
→
10
(
2
,
3
,
4
,
5
)
→
11
(
2
,
3
,
4
,
6
)
→
12
(
2
,
3
,
5
,
6
)
→
13
(
2
,
4
,
5
,
6
)
→
14
(
3
,
4
,
5
,
6
)
→
15
(1,2,3,4)\\rightarrow1\\\\(1,2,3,5)\\rightarrow2\\\\(1,2,3,6)\\rightarrow3\\\\(1,2,4,5)\\rightarrow4\\\\(1,2,4,6)\\rightarrow5\\\\(1,2,5,6)\\rightarrow6\\\\(1,3,4,5)\\rightarrow7\\\\(1,3,4,6)\\rightarrow8\\\\(1,3,5,6)\\rightarrow9\\\\(1,4,5,6)\\rightarrow10\\\\(2,3,4,5)\\rightarrow11\\\\(2,3,4,6)\\rightarrow12\\\\(2,3,5,6)\\rightarrow13\\\\(2,4,5,6)\\rightarrow14\\\\(3,4,5,6)\\rightarrow15
(1,2,3,4)→1(1,2,3,5)→2(1,2,3,6)→3(1,2,4,5)→4(1,2,4,6)→5(1,2,5,6)→6(1,3,4,5)→7(1,3,4,6)→8(1,3,5,6)→9(1,4,5,6)→10(2,3,4,5)→11(2,3,4,6)→12(2,3,5,6)→13(2,4,5,6)→14(3,4,5,6)→15
用于对组合数进行编号，抽象地看就是希望将一个四元组映射成一个编号
(
a
,
b
,
c
,
d
)
→
i
s
.
t
.
a
<
b
<
c
<
d
(a,b,c,d)\\rightarrow i\\\\s.t.\\ a<b<c<d
(a,b,c,d)→is.t. a<b<c<d
方案
给出映射函数 p ( a , b , c , d , n ) = ∑ i = 1 a ( n − i 3 ) + ∑ i = 0 b − a − 2 ( n − b + i 2 ) + ∑ i = 0 c − b − 2 ( n − c + i 1 ) + ( d − c + 1 ) p(a,b,c,d,n)=\\sum_i=1^a\\binomn-i3+\\sum_i=0^b-a-2\\binomn-b+i2+\\sum_i=0^c-b-2\\binomn-c+i1+(d-c+1) p(a,b,c,d,n)=i=1∑a(3n−i)+i=0∑b−a−2(2n−b+i)+i=0∑c−b−2(1n−c+i)+(d−c+1)
程序实现
def combN(n,m):# 计算简单的组合数, n 选 m
a = 1
b = 1
for i in range(1,m+1):
b *= i
a *= (n-i+1)
return a//b
def p(a,b,c,d,n): # n 为总体数目 p(a,b,c,d,n) 表示从 n中选出 K4= a,b,c,d 并映射成的单值
# 从 n 个数中选出 K4 个数，对 K4 进行编号
index = 0
for i in range(1,a+1):
index += combN(n-i,3)
for i in range(0,b-a-1):
index += combN(n-b+i,2)
for i in range(0,c-b-1):
index += combN(n-c+i,1)
index += (d-c-1)
return index
小结
上述只是给出了从四元组到编号的映射，而实际上显然应该同样存在从编号到四元组的映射，本文并没有给出。
以上是关于组合数元组编号的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章