数论中的各种定理(待更新)

Posted 2022-12-09 queuelovestack

本篇博客仅仅是搜罗各种数论中的定理便于日常使用,具体的证明还需从网络中获得,特此告知

1.费马小定理

内容:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者最大公约数为1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1

2.欧拉定理(其实包含了费马小定理)

3.威尔逊定理

4.中国剩余定理(孙子定理)

一元线性同余方程组

模板:

/*Sherlock and Watson and Adler*/
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define eps 1e-8
#define LL long long
#define bitnum(a) __builtin_popcount(a)
using namespace std;
const int N = 105;
const int M = 100005;
const int inf = 1000000007;
const int mod = 1000000007;
int group;
LL n[N],a[N];
LL Egcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)

    if(b==0)
    
        x=1,y=0;
        return a;
    
    LL d,tp;
    d=Egcd(b,a%b,x,y);
    tp=x;
    x=y;
    y=tp-a/b*y;
    return d;

LL solve()

    int i;
    bool flag = false;
    LL n1 = n[0], n2, b1 = a[0], b2, bb, d, t, k, x, y;
    for (i = 1; i < group; i++)
    
        n2 = n[i], b2 = a[i];
        bb = b2 - b1;
        d = Egcd (n1, n2, x, y);
        if (bb % d)     //模线性解k1时发现无解
        
            flag = true;
            break;
        
        k = bb / d * x;    //相当于求上面所说的k1【模线性方程】
        t = n2 / d;
        if (t < 0) t = -t;
        k = (k % t + t) % t;    //相当于求上面的K`
        b1 = b1 + n1*k;
        n1 = n1 / d * n2;
    
    if(flag)
        return -1;     //无解
/******************求正整数解******************/
    if(b1==0)    //如果解为0，而题目要正整数解，显然不行
        b1=n1;    //n1刚好为所有ni的最小公倍数，就是解了
/******************求正整数解******************/
    return b1;    //形成的解：b1, b1+n1, b1+2n1,..., b1+xni...

int main()

    int i;
    scanf("%d",&group);
    for(i=0;i<group;i++)
    //X mod n[i] = a[i] ,n[i]两两之间不一定互质做法
        scanf ("%lld%lld",&n[i],&a[i]);
        a[i]%=n[i];
    
    printf ("%lld\\n",solve());
    return 0;

菜鸟成长记