R语言-运筹学虚拟变量运输问题实例

Posted 2022-12-08 书槑

这是我自己的运筹学笔记，由于老师讲的实在一言难尽，导致自己不得不对着英文教材自学，以下的例子就出自英文教材。

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• 问题介绍
• R语言解决

问题介绍

有3条河流向4个城市供水，表格9.10中显示了运费，没有运费则表示无法供水。城市有其最小需求（刚需，第一行），还有奢侈性需求（刚需+额外需求，第二行），首先满足城市的刚需，在此基础上尽量满足其奢侈性需求，并使得费用最小化。

难点在于每个城市的需求是不确定的，有一个上界和下界，上界为其他城市的刚需满足后剩下的，下界即为刚需。因此Hollyglass的上界就是(50+60+50)-(30+70+0)=60而非无穷大。

然而在运输问题中需求得是常数而不能是变量，因此要对问题做一些变形。引入一个虚拟产地用来满足奢侈性需求。虚拟产地的产量即为需求的上界减去真实的产量：（50+70+30+60）-（50+60+50）=50。注意虚拟产地的运费都是0，并且由于Calorie不能运到Hollyglass, 故将其运费设为一个极大值M。

接下来对模型做出调整以便把奢侈性需求纳入考虑。

Hollyglass不需要调整，因为它的奢侈性需求减去虚拟产量等于10，正好为它的刚需，即这部分刚需一定能由真实产量提供。Los Devils的刚需等于奢侈性需求，即必须全部由真实产量提供，因此在虚拟产量中将它的运费设为M。对于Berdo，虚拟产量在满足奢侈性需求的前提下还能满足部分刚需，由于其刚需是30，上界是50，故虚拟产量提供不能超过20。因此将Berdo分成2块，一块需求为30，虚拟产地运费为M，另一块需求为20，虚拟产地运费为0。

R语言解决

library(lpSolve)
M = 10000
a1 = c(16,16,13,22,17)
a2 = c(14,14,13,19,15)
a3 = c(19,19,20,23,M)
a4 = c(M,0,M,0,0)
a = rbind(a1,a2,a3,a4)    #系数矩阵
row.rhs = c(50,60,50,50)     #供给约束值
row.dir = rep('=',4)     #约束方向
col.rhs = c(30,20,70,30,60)    #需求约束值
col.dir = rep("=",5)     #约束方向
solution = lp.transport(a, row.signs = row.dir, row.rhs = row.rhs, col.signs = col.dir, col.rhs = col.rhs)
solution$solution

结果为

忽略最后一行虚拟产量的结果，该矩阵即为运输量矩阵。

参考教材：Introduction to Operations Research，Frederick S. Hillier • Gerald J. Lieberman