MATLAB中的一维插值与函数拟合

Posted 2022-12-06 PrayerVV

本文主要记录Matlab中常用的一维插值与函数拟合的使用方法

文章目录

• 前言
• 一、一维插值
• 二、函数拟合
• • 2.1 多项式拟合
  • • 2.1.1多项式拟合指令
    • 2.1.2 图形窗口的多项式拟合
  • 2.2 指定函数拟合
• 参考资料

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前言

最近在学习数学建模，这部分关于怎么使用Matlab，刚好记录下来，做电赛的时候这些常用的插值、拟合工具也是需要学习的，刚开始学，写的不好，欢迎大家批评指正。

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以下是本篇文章正文内容

一、一维插值

用MATLAB软件求解插值问题
在MATLAB中提供了一个一维插值函数interp1， 它的调用格式为
cy=interp1(x , y , cx , ‘method’)
其中x、y是所给数据的横纵坐标，要求x的分量按升序或降序排列，cx是待求的插值点的横坐标，返回值cy是待求的插值点的纵坐标，method是插值方法， 该函数提供了四种可选的插值方法：

1. nearest——最邻近点插值。 点和这两已知点间位置的远近来进行插值，取较近已知 它根据已知两点间的插值 插值点处的函数值作为未知插值点处的函数值。
2. linear——线性插值。它将相邻的数据点用直线相连， 按所生成的直线进行插值。
3. spline——三次样条插值。它利用已知数据求出样条 函数后，按样条函数进行插值。
4. cubic——三次插值。它利用已知数据求出三次多项式 函数后，按三次多项式函数进行插值。（在我的Matlab2019b中名为pchip）
   缺省时插值方法为分段线性插值。

下面用该函数来求解下列插值问题。
对于下面给定的4组数据，求在x=110处 y的值。

x	y
100	10
121	11
144	12
169	13

很明显，我们可以看出这组数据符合函数y=sqrt(x);
我们用科学计算器得到一个解cy*=10.4880。
接下来我们使用Matlab进行插值计算：
输入命令：

x=[100 121 144 169]; 
y=[10 11 12 13]; 
cx=110; 
cy1=interp1(x,y,cx,'nearest');
cy2=interp1(x,y,cx,'linear');
cy3=interp1(x,y,cx,'pchip');
cy4=interp1(x,y,cx,'spline');

运行结果依次为 cy1 = 10、cy2 =10.4762、cy3 = 10.4869、cy4 = 10.4877 通过比较cy* = 10.4880，显然三次样条插值的结果最好。

二、函数拟合

2.1 多项式拟合

将数据点按多项式的形式进行拟合，使用最小二乘法可以确定多项式的系数，多项式拟合有指令语句和图形窗口两种方法。

2.1.1多项式拟合指令

polyfit(X,Y,N):多项式拟合，返回降幂排列的多项式系数。
polyval(P,xi):计算多项式的值。
其中，X，Y是数据点的值；N是拟合的最高次幂；P是返回的多项式系数；xi是要求点的横坐标。
例如对下面的数据进行多项式拟合。

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	9	7	6	3	-1	2	5	7	20

拟合的命令如下：

x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
P = polyfit(x,y,3);
xi = 0:0.2:10;
yi = polyval(P,xi);
plot(xi,yi,x,y,'r*');

得到的拟合曲线与原始数据的对照如图

2.1.2 图形窗口的多项式拟合

在图形窗口可以用菜单方式对数据进行简单、快速、搞笑的拟合。与2.1.1数据相同，先画出数据点：

x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
plot(x,y,'r*');

然后在图形窗口单击Tools(工具)->Basic Fitting(基本拟合)，打开对话框，并按下图进行操作，其中分别用线性、二阶、三阶对数据进行了多项式拟合，下面的柱状图显示残差，可以看出，进行三阶多项式拟合的效果是最好的，与前述结果一样。

2.2 指定函数拟合

在Matlab中也可以用用户自定义的函数进行拟合。通过下面的例子可以了解用指定函数进行数据拟合的基本方法。

x	0	0.4	1.2	2	2.8	3.6	4.4	5.2	6	7.2	8	9.2	10.4	11.6	12.4	13.6	14.4	15
y	1	0.85	0.29	-0.27	-0.53	-0.4	-0.12	0.17	0.28	0.15	-0.03	-0.15	-0.071	0.059	0.08	0.032	-0.015	-0.02

在Matlab中先用命令画出上述的散点图：

x = [0 0.4 1.2 2 2.8 3.6 4.4 5.2 6 7.2 8 9.2 10.4 11.6 12.4 13.6 14.4 15];
y = [1 0.85 0.29 -0.27 -0.53 -0.4 -0.12 0.17 0.28 0.15 -0.03 -0.15 -0.071 0.059 0.08 0.032 -0.015 -0.02];
plot(x,y,'r*');

知道其对应的函数形式为$f(t)=acos(kt)e^{wt}$,则可用Matlab进行拟合，程序如下：

syms t
x = [0;0.4;1.2;2;2.8;3.6;4.4;5.2;6;7.2;8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6;14.4;15];
y = [1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;-0.15;-0.071;0.059;0.08;0.032;-0.015;-0.02];
f = fittype('a*cos(k*t)*exp(w*t)','independent','t','coefficients','a','k','w');
cfun = fit(x,y,f);
xi = 0:0.1:20;
yi = cfun(xi);
plot(x,y,'r*',xi,yi,'b-');

运行结果如图：

参考资料

《MATLAB在数学建模中的应用》卓金武《北京航空航天大学出版社》 , 2011.4

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