洛必达法则

Posted 2022-11-29 tanjunming2020

洛必达法则

若满足$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$型，则$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

• $\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$可直接使用洛必达，$\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0$则需转化成$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$才能使用

• 若$\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$仍满足$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$型，则可继续用$\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\lim \frac{f^{\prime \prime }(x)}{g^{\prime \prime }(x)}$

• 洛必达不是万能的，求极限首选无穷小替换，再用洛必达。

$\frac{0}{0}$型未定式

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}$

解：原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x+e^{-x}-2}{\frac{1}{2}{x}^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x+e^{-x}=2$

$1-\cos x$可经过无穷小替换变为$\frac{1}{2}{x}^2$

$\frac{\infty }{\infty }$型未定式

求$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln \sin 3x}{\ln \sin 5x}$

解：原式$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{s求各种极限的方法}}{\frac{1}{\sin 5x}\cdot \cos 5x\cdot 5}$

求各种极限的方法

洛必达法则

洛必达法则

O‘Stolz定理

高数——多元函数