为什么要学习排序算法？

Posted 2022-11-27 cdai

为什么要学习排序算法？

根据统计，早起大型机CPU资源的四分之一都花在了数据排序上面。排序算法作为最基础的算法，各种操作系统、编程语言都提供了内置的实现。既然排序实现随处可见，我们为什么还要自己动手实现呢？虽然经典算法要动手写写加深印象的道理都懂，但直到最近才发现，每种排序算法里都“暗藏玄机”。排序算法看似简单，其实不同的算法中蕴涵着经典的算法策略。通过熟练掌握排序算法，就可以掌握基本的算法设计思想，包括暴力枚举法、时间空间置换、子问题的分治以及随机化。

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1.选择排序：暴力搜索

1.1 “暴力”的定义

按照Wikipedia的定义，暴力搜索也叫穷举法。它是一种常用的解决问题策略或者算法范式，通过系统化产生所有可能解来找到最终答案：

In computer science, brute-force search or exhaustive search, also known as generate and test, is a very general problem-solving technique and algorithmic paradigm that consists of systematically enumerating all possible candidates for the solution and checking whether each candidate satisfies the problem’s statement.

所谓“暴力”是指“Just do it”。需要注意的是所有解空间是来自问题定义，而非来自输入数据的所有排列组合。按照《The Design & Analysis of Algorithms》一书的定义，暴力搜索就是一种基于问题定义的、最直接的解决问题方法（“usually directly based on the problem’s statement and definitions of the concepts involved”）。

1.2 例子

比如来自Leetcode经典的2 Sum问题，问题定义里说要找到两数之和等于某值，此处暴力搜索即为穷举输入数据中所有两个数可能的组合，然后找到符合条件的一对或者多对。所以，假设输入数据规模为N（比如长度为N的数组），搜索空间只是从N个数里取出两个数的组合。类似地，线性查找最小值、查找子字符串、查找平面上最近的两个点，都可以根据问题的定义直接得到算法实现。

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2.堆排序：时间空间trade-off

2.1 简介

时间和空间置换（Time and space trade-off），即用额外的空间（通常是一种高效的数据结构）来换取之后更快的处理。 其实本质上，堆排序=选择排序+堆数据结构，通过花费额外的空间，来优化“选择”这个动作。这样每次选择剩余数据中最小值的操作，其时间复杂度就从原来的线性N降低到LogN。

2.2 预处理 vs 即时维护

除了像上面堆排序，数据结构预先初始化，将解题步骤分为两阶段，也可以在执行过程中，一边执行一边维护，只要保证当前所需的数据都在结构里即可。比如，还是这个经典的2 Sum问题。如果数组未排序的话，我们可以用哈希表来记录其他元素，从而省去暴力搜索时的内层循环。哈希表可以预先初始化，也可以一边遍历数组一边维护。

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3.插入排序：减而治之

所谓的减而治之（Decrease-and-Conquer），也就是增量法。要解决输入规模为N的问题，我们先解决规模为N-1的子问题，然后思考如何利用N-1的解和当前数据得到N的解。在这个过程，其实我们一直在维护一个不变量（Invariant），从而保证了所有数据处理结束后结果的正确性。根据问题规模缩减的速度，可以分为常量递减和变量递减两种方式

3.1 常量递减

常量递减（Decrease-by-a-constant-factor）即问题规模以固定的速度缩减，比如：

• 插入排序
• 产生排列组合：同插入排序一样
• 二分查找：每次减半

3.2 变量递减

变量递减（Decrease-by-a-variable-factor）每次问题规模缩减的程度可变：

• 找中位数：递减程度由选取的分区元素决定。
• 插值查找（Interpolation search）：二分查找不考虑查找值的特点，每次都折半。而插值排序根据分区的第一个、最后一个值以及要查找的值，选取一个更靠前或者靠后的值来比较。这种思想类似于在电话簿里查找一个人的电话，假如名字是A开头，则更高效的方式不是翻到中间，而是电话薄的前面。

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4.归并排序：分而治之

4.1 简介

与减而治之类似，分而治之（Divide-and-Conquer）将问题一分为二，解决两个子问题后再考虑如何合并得到最终结果。

4.2 “分”和“治”

分而治之两个最重要的例子就是归并排序和快速排序。有趣的是，两者在“分”和“治”上有着完全相反的实现比重。前者重在合并，划分几乎没有额外逻辑；而后者则重在划分，合并时没有额外动作。

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5.快速排序：随机化

平均情况下，快速排序的时间复杂度很不错。然后最坏情况下，它却可能恶化到与插入排序差不多的N平方。算法设计里另一种重要的思想就是利用随机化，从概率上保证最坏的情况不会发生。比如对于快速排序来说，可以随机选取，或者采样后决定要用哪个值来做划分。