王道数据结构8（排序）

Posted 2022-11-25 晨沉宸辰

排序

• 排序
• • 一.概念
  • • 【1】稳定排序和不稳定排序
    • 【2】排序分类
• 二. 插入排序
• • 【1】直接插入排序
  • • 1. 算法
    • 2.算法实例
    • 3. 算法评价
  • 【2】二叉法插入
  • • 1.算法
    • 2. 算法评价
  • 【3】希尔排序(缩小增量法)
  • • 1.算法过程
    • 2. 例子
    • 3.算法
    • 4.希尔排序特点
• 三.交换排列
• • 【1】起泡排序
  • • 1.排序过程
    • 2. 算法
    • 3.算法评价
  • 【2】快速排序
  • • 1. 基本思想
    • 2.一个例子
    • 3. 算法
    • 4.算法评价
• 四. 选择排序
• • 【1】简单选择排序
  • • 1. 排序过程
    • 2.一个例子
    • 3. 算法
    • 4. 算法评价
  • 【2】堆排序
  • • 1.建立堆
    • 2.排序法
    • 3.算法
    • 4.算法评价
• 五.分配排序
• • 【1】分配排序的思想
  • 【2】一个例子
  • 【3】算法评价
• 六.归并排序
• • 【1】排序过程
  • 【2】算法评价
• 七.总结

排序

一.概念

【1】稳定排序和不稳定排序

假设Ki=Kj(0<=i,j<=n-1,i不等于j)，且在排序前的序列中Ri领先于Rj(即i<j)，若在排序后的序列中Ri仍领先于Rj，则称所用的排序方法是稳定的，否则是不稳定的。

【2】排序分类

1. 按待排序记录所在位置

• 内部排序：待排序记录存放在内存
• 外部排序：排序过程中需对外存进行访问的排序

2. 按排序依据原则

• 插入排序：直接插入排序、折半插入排序、希尔排序、表插入排序*
• 交换排序：起泡排序、快速排序
• 选择排序：简单选择排序、堆排序
• 归并排序：2-路归并排序
• 分配排序

3. 按排序所需工作量

• 简单的排序方法：T(n)=O(n²)
• 先进的排序方法：T(n)=O(logn)

4. 排序算法的衡量标准：

• 空间开销：执行算法所需的附加空间
• 时间开销：执行算法所需的时间。通常用算法执行中的比较和移动次数来衡量。考虑最坏和平均情况。

二. 插入排序

【1】直接插入排序

1. 算法

整个排序过程为n-1趟插入，即先将序列中第1个记录看成是一个有序子序列，然后从第2个记录开始，逐个进行插入，直至整个序列有序

typedef struct
  int key;
   float info;
JD;
void straisort(JD r[],int n)
  int i,j;
   for(i=2;i<=n;i++)
     r[0]=r[i];
      j=i-1;
      while(r[0].key<r[j].key)
        r[j+1]=r[j];
         j--;    
      r[j+1]=r[0];
        

2.算法实例

3. 算法评价

1. 时间复杂度
   T(n)=O(n²)
2. 空间复杂度
   S(n)=O(1)

【2】二叉法插入

1.算法

void binsort(JD r[],int n)
  int i,j,x,s,m,k;
   for(i=2;i<=n;i++)
     r[0]=r[i];
      x=r[i].key;
      s=1; j=i-1;
      while(s<=j)
        m=(s+j)/2;
      if(x<r[m].key)  j=m-1;
         else s=m+1;
      
      for(k=i-1;k>=s;k--)
         r[k+1]=r[k];
      r[s]=r[0];
   

2. 算法评价

• 时间复杂度：T(n)=O(n²)
• 空间复杂度：S(n)=O(1)

【3】希尔排序(缩小增量法)

1.算法过程

排序过程：先取一个正整数d1<n，把所有相隔d1的记录放一组，组内进行直接插入排序；然后取d2<d1，重复上述分组和排序操作；直至di=1，即所有记录放进一个组中排序为止。

2. 例子

3.算法

void shellsort(JD r[],int n,int d[T])
  int i,j,k;
   JD x;
   k=0;
   while(k<T)
     for(i=d[k]+1;i<=n;i++)
        x=r[i];
         j=i-d[k];       
         while((j>0)&&(x.key<r[j].key))
           r[j+d[k]]=r[j];
            j=j-d[k];
         
         r[j+d[k]]=x;
       
       k++;
    

  

4.希尔排序特点

• 子序列的构成不是简单的“逐段分割”，而是将相隔某个增量的记录组成一个子序列
• 希尔排序可提高排序速度，因为 ：
• 分组后n值减小，n²更小，而T(n)=O(n²),所以T(n)从总体上看是减小了
• 关键字较小的记录跳跃式前移，在进行最后一趟增量为1的插入排序时，序列已基本有序
• 增量序列取法
• 无除1以外的公因子(或者di+1=|_ di/2 _|)
• 最后一个增量值必须为1

三.交换排列

【1】起泡排序

1.排序过程

• 将第一个记录的关键字与第二个记录的关键字进行比较，若为逆序r[1].key>r[2].key，则交换；然后比较第二个记录与第三个记录；依次类推，直至第n-1个记录和第n个记录比较为止——第一趟冒泡排序，结果关键字最大的记录被安置在最后一个记录上
• 对前n-1个记录进行第二趟冒泡排序，结果使关键字次大的记录被安置在第n-1个记录位置
• 重复上述过程，直到“在一趟排序过程中没有进行过交换记录的操作”为止

2. 算法

void bubble_sort(JD r[],int n)
  int m,i,j,flag=1;
   JD x;
   m=n-1;
   while((m>0)&&(flag==1))
     flag=0;
      for(j=1;j<=m;j++)
        if(r[j].key>r[j+1].key)
          flag=1;
           x=r[j];
           r[j]=r[j+1];
           r[j+1]=x;        
      m--;    

3.算法评价

1. 时间复杂度：T(n)=O(n²)

• 最好情况（正序）
• 比较次数：n-1 移动次数：0
• 最坏情况（逆序） 比较次数：

移动次数：

• 空间复杂度：S(n)=O(1)

【2】快速排序

1. 基本思想

通过一趟排序，将待排序记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录进行排序，以达到整个序列有序
排序过程：对r[s……t]中记录进行一趟快速排序，附设两个指针i和j，设枢轴记录rp=r[s]，x=rp.key

• 初始时令i=s,j=t
• 首先从j所指位置向前搜索第一个关键字小于x的记录，并和rp交换
• 再从i所指位置起向后搜索，找到第一个关键字大于x的记录，和rp交换
• 重复上述两步，直至i==j为止
• 再分别对两个子序列进行快速排序，直到每个子序列只含有一个记录为止

2.一个例子

3. 算法

void qksort(JD r[],int t,int w)
  int i,j,k;
   JD x;
   if(t>=w)  return;
   i=t; j=w; x=r[i];
   while(i<j)
     while((i<j)&&(r[j].key>=x.key))  j--;
      if(i<j)  r[i]=r[j]; i++; 
      while((i<j)&&(r[i].key<=x.key))  i++;
      if(i<j)  r[j]=r[i]; j--;    
   r[i]=x;      qksort(r,t,j-1);
   qksort(r,j+1,w);

4.算法评价

• 时间复杂度 T(n)=O(n²)
• 最好情况（每次总是选到中间值作枢轴）T(n)=O(nlog2n)
• 最坏情况（每次总是选到最小或最大元素作枢轴）T(n)=O(n²)
• 空间复杂度：需栈空间以实现递归
• 最坏情况：S(n)=O(n)
• 一般情况：S(n)=O(log2n)

四. 选择排序

【1】简单选择排序

1. 排序过程

• .首先通过n-1次关键字比较，从n个记录中找出关键字最小的记录，将它与第一个记录交换
• 再通过n-2次比较，从剩余的n-1个记录中找出关键字次小的记录，将它与第二个记录交换
• 重复上述操作，共进行n-1趟排序后，排序结束

2.一个例子

3. 算法

void smp_selesort(JD r[],int n)
  int i,j,k;
   JD x;
   for(i=1;i<n;i++)
     k=i;
      for(j=i+1;j<=n;j++)
         if(r[j].key<r[k].key)  k=j;
      if(i!=k)
        x=r[i];
         r[i]=r[k];
         r[k]=x;        

4. 算法评价

• 时间复杂度
  -最好情况：0
  最坏情况：3（n-1）
  T(n)=O(n²)

• 空间复杂度

• S（n）=O(1)

【2】堆排序

1.建立堆

2.排序法

3.算法

void heapsort(JD r[],int n)
  int i;
   JD x;
   for(i=n/2;i>=1;i--)
      sift(r,i,n);
   for(i=n;i>=2;i--)
     x=r[1];
      r[1]=r[i];
      r[i]=x;
      sift(r,1,i-1);
     
   int sift(JD r[],int k,int m)
  int i,j;
   JD x;
   i=k;  x=r[i]; j=2*i;
   while(j<=m)
     if((j<m)&&r[j].key>r[j+1].key))
                   j++;
      if(x.key>r[j].key)
        r[i]=r[j]; 
          i=j;   j=j*2;     
      else   j=m+1; 
    
   r[i]=x; 

4.算法评价

• 时间复杂度
• 最坏情况下T(n)=O(nlogn)
• 空间复杂度：
• S(n)=O(1)

五.分配排序

【1】分配排序的思想

把排序码分解成若干部分，然后通过对各个部分排序码的分别排序，最终达到整个排序码的排序

【2】一个例子

【3】算法评价

• 时间复杂度： T(n)=O(d*(r+n))。

基数排序算法中，时间耗费主要在修改指针上。一趟排序的时间为O(r+n)。总共要进行d趟排序；
当n较大、d较小，特别是记录的信息量较大时，基数排序非常有效。

• 空间复杂度： S(n)=O(n+r)。

基数排序中，每个记录中增加了一个next字段，还增加了一个queue数组。

• 基数排序是稳定的。

六.归并排序

【1】排序过程

• 设初始序列含有n个记录，则可看成n个有序的子序列，每个子序列长度为1
• 两两合并，得到n/2个长度为2或1的有序子序列
• 再两两合并，……如此重复，直至得到一个长度为n的有序序列为止
  

【2】算法评价

时间复杂度：T(n)=O(nlog2n)
空间复杂度：S(n)=O(n)

七.总结

（1）平均时间性能：以快速排序法最佳，但最坏情况下不如堆排序和归并排序；在n较大时，归并排序比堆排序快，但所需辅助空间最多。
（2）简单排序以直接插入排序最简单，当下列中记录“基本有序“或n值较小时，是最佳的排序方法。因此常和其他排序方法结合使用。
（3）基数排序最适用于n值很大而关键字较小的序列。若关键字也很大，而序列中大多数记录的”最高位关键字”均不同，则也可以先按“最高位关键字”不同将序列分成若干个子序列，而后用直接插入排序。
（4）从稳定性来看，基数排序是稳定的排序方法，大部分时间复杂度为O(n2)的简单排序法都是稳定的。然而，快速排序、堆排序和希尔排序等时间性能较好的排序都是不稳定的。一般来说，排序过程中的比较是在相邻的两个记录关键字之间进行的排序方法是稳定的。大多数情况下排序是按记录的主关键字进行的，则所有的排序方法是否稳定无关紧要。当排序是按记录的次关键字进行时，则应根据问题所需慎重选择。