量子力学教程（全）

Posted 2022-11-25 myjs999

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第一章

波

波函数$E(x,t)=E_0{e}^{i(kx-\omega t)}$，记为$Daw(A=E_0,k=k,\omega =\omega )$，或$E_0{\mathcal{D}}_k^{\omega }(x,t)$。其中$\omega$为角速度，$k$为波数，即每$2\pi$长度里有多少个波长。

${\mathcal{D}}^{\omega }(t)=e^{-i\omega t}$
${\mathcal{D}}_k(x)=e^{ikx}$

状态函数 定态波函数

如果$\Psi (x,t)=\psi (x)f(t)$，则$\Psi (x,t)$是定态波函数，否则是状态函数。

$f(t)$有确定形式$f(t)={\mathcal{D}}^{E/\hslash }(t)={\mathcal{D}}^{\omega }(t)$。

自由粒子

如果是自由粒子或平面波，则$\psi (x)=A{\mathcal{D}}_k(x)$，其中$A$是归一化常数。

于是$\Psi (x,t)=A{\mathcal{D}}_k(x){\mathcal{D}}^{\omega }(t)=A{\mathcal{D}}_k^{\omega }(x,t)$。

因此自由粒子和平面波的波函数形式和经典波相同。但根据哥本哈根学派诠释，这个波函数只是概率幅。

狄拉克符号 厄米共轭算符

一个态矢量$\psi (x)$表示一个粒子的量子态。可以表示为$|\psi ⟩$，不再提到$x$，即与坐标系选取无关。

一个封闭的狄拉克符号表示一个复数，如$C=⟨\chi |\psi ⟩$。含义是内积，也即$C=(\chi ,\psi )$。对于向量可以看做矩阵乘法，对于函数可以看做函数内积。

在中间多乘一个矩阵可以表示为$⟨\phi |A|\psi ⟩$。

投影算符$P_{\phi }=|\phi ⟩⟨\phi |$。

算符$A$的厄米共轭（即取转置，再每个元素取共轭）记为$A^{†}$。如果$A|\alpha ⟩=|\beta ⟩$，那么$⟨\beta |A^{†}=⟨\alpha |$。

$$(|u⟩⟨v|{)}^{†}=|v⟩⟨u|$$

如果$A=A^{†}$，那么$A$是厄米算符。

交换性质：$⟨\phi |A|\psi ⟩=⟨\psi |A^{†}|\phi {⟩}^{\ast }$; $⟨\phi |\psi ⟩=⟨\psi |\phi {⟩}^{\ast }$。其中${}^{\ast }$表示单个数的共轭。

毫无疑问，$|\psi ⟩$和$⟨\psi |$之间是共轭转置关系，即$|\psi ⟩=(⟨\psi |{)}^{†}$。Dagger $†$符号和矩阵论里的共轭转置$H$上标是一回事。

克罗内克符号 正交归一关系

克罗内克符号：Kronecker Delta。

离散型：${\delta }_{ij}=\begin{array}{r}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$

连续型：$\delta (x)=\begin{array}{rl}1,& x=0\text{ or }x\to 0\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

正交基$u_i$满足$⟨u_i|u_j⟩={\delta }_{ij}$。

连续基满足$({\omega }_{\alpha },{\omega }_{{\alpha }^{\prime }})=\delta (\alpha -{\alpha }^{\prime })$。

$|\psi ⟩$在一组正交基上投影表示为 ∣ ψ ⟩ = ∑ i P u i ∣ ψ