一个wordle小挂

Posted 2022-11-24 Hellsegamosken

前段时间看到了 wordle 这个游戏，觉得挺有意思。我刚开始的策略是前几个词尽可能把 26 个字母覆盖改一遍，然后最后一次机会就是一个排列组合的问题了。这样做一是因为我想要猜中的把握大一点（非酋实惨）；二是因为我没有对可猜测单词集合的整体认识，不知道猜哪个词能筛选掉更多的不合法答案。今晚趁着背不进近代史，刚好思考了一下，顺便写了写。

初步想法

首先可以从源码里找到合法的长度为 5 的单词（记为 validWords）以及可能出现的答案（记为restWords）。

一个自然的想法是先建一棵至多六层的决策树，然后沿着树跑就行。但是这棵树每一个节点至多有上万个分支。鉴于我只给了自己一晚上的时间，要把这个决策树搜出来还是心里没底的，因为剪枝都得一点一点去试。

那有没有办法不做预处理，每次在线处理询问呢？换句话说，猜哪个词会让 restWords 尽可能减少呢？

假设我们猜一个词 v，可能返回的情况有不多于 $3^5$ 种（每个位置灰黄绿三种可能），restWords 也被划分到这些情况之中，记第 i 种情况下有 $c_i$ 种可能的答案，一个想法是用 $c_i$ 的期望值，即 $eval(v)=\sum \frac{c_i^2}{|restWords|}$ 作为衡量 v 好坏的标准。在 3B1B 的视频里，提出了另一种方法。

信息量

信息量和事件发生的概率成反比，比如经典的“明天太阳从东边升起”和“明天吐鲁番下雨”的例子。具体来说，有
$$h(x)=-{\log }_{2}p(x)$$
而信息熵可以理解为所有可能的事件的信息量期望，表示某件事的不确定程度：
$$H(X)=-\sum _{i}p(x_i)\cdot {\log }_{2}p(x_i)$$
其实上面说的“所有可能的事件的信息量期望”和“某件事的不确定程度”乍一看是不容易建立起什么等价的关系的，但用期望表示不确定程度实际上是很符合直觉的。考虑事件 A,B,C,D 发生的概率都为 0.25，可以计算发生哪件事的信息熵为 $0.25\times 4\times {\log }_{2}4=2$；如果概率分别为 0.97,0.01,0.01,0.01，那么发生哪件事的信息熵为 $0.24<2$。因为 BCD 事件发生的可能性太小了，即便知道了 A 会发生，好像也没有那么吃惊了。

观察函数 $f(x)=-x\cdot {\log }_{2}x$ 的图像也可以清楚地知道，概率非常靠近 0 或非常靠近 1 的事件对熵的影响不大。

回到游戏

回到主题，我们实际上是用“信息熵”来衡量猜某个词的好坏。也就是每一回合我们都希望猜一个信息熵最大的词语，希望问出一个信息熵尽可能大的问题以期望获得更多信息，或者说让各种事件在我们的问题下更加“分散”。

几个问题

注意，如果只按上述分析，程序会猜一些属于 validWords 而不属于 restWords 的词语，因为它们的信息熵更大。但这在最后一次猜测会遇到问题，因为如果可能成为答案的词不多了的话，直接猜答案可能会是更好的选择。
那怎么衡量熵和概率之间的关系？直接将二者线性组合或许是个方法，但不够合理。
我们想要的实际上是猜词的期望次数尽可能少。猜一个词的期望就是 p*1 + (1-p) * (1 + (H))