2021 ICPC上海 G.Edge Groups(树形dp)

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题目描述

题目链接

题目大意

给出一个点数为n的树(n为奇数),将n-1条边两两分组。每组内需要满足:有两条边,且这两条边要有一个公共点。

题目分析

通 过 找 规 律 我 们 可 以 发 现 : 对 于 以 u 为 根 的 树 和 它 的 子 节 点 v , 如 果 v 子 树 可 以 匹 配 边 数 为 偶 数 , 那 么 u − v 这 条 边 通过找规律我们可以发现:对于以u为根的树和它的子节点v,如果v子树可以匹配边数为偶数,那么u-v这条边 uvvuv 对 于 u 树 来 说 就 是 可 用 的 。 如 果 v 子 树 可 以 匹 配 的 边 数 为 奇 数 , 那 么 v 子 树 匹 配 完 后 会 剩 下 一 条 边 , 而 能 与 这 条 剩 对于u树来说就是可用的。如果v子树可以匹配的边数为奇数,那么v子树匹配完后会剩下一条边,而能与这条剩 uvv 边 能 匹 配 的 只 有 u − v 边 , 因 此 u − v 边 对 于 u 子 树 来 说 即 为 不 可 用 的 边 。 边能匹配的只有u-v边,因此u-v边对于u子树来说即为不可用的边。 uvuvu

而 对 于 一 棵 树 的 可 用 边 来 说 , 对 其 两 两 分 组 的 方 案 是 为 ( 设 边 数 为 n 且 n 为 偶 数 ) : 而对于一棵树的可用边来说,对其两两分组的方案是为(设边数为n且n为偶数): (nn)
C 2 2 ∗ C 4 2 ∗ … ∗ C n − 2 2 ∗ C n 2 ( n / 2 ) ! \\fracC_2^2*C_4^2*…*C_n-2^2*C_n^2(n/2)! (n/2)!C22C42Cn22Cn2
从 n 条 边 里 选 2 条 匹 配 C n 2 , 从 n − 2 条 边 里 选 2 条 匹 配 C n − 2 2 , … … 从n条边里选2条匹配C_n^2,从n-2条边里选2条匹配C_n-2^2,…… n2Cn2n22Cn22
这 样 算 出 选 出 n / 2 对 匹 配 的 方 案 数 后 , 会 有 ( n / 2 ) ! 的 重 复 这样算出选出n/2对匹配的方案数后,会有(n/2)!的重复 n/2(n/2)!

经 过 化 简 后 可 以 得 到 : 经过化简后可以得到:
1 ∗ 3 ∗ … ∗ ( n − 3 ) ∗ ( n − 1 ) 1*3*…*(n-3)*(n-1) 13(n3)(n1)

这 样 就 能 通 过 可 供 使 用 的 边 数 来 求 出 方 案 数 。 然 后 我 们 再 来 看 如 何 求 出 一 棵 树 中 可 供 使 用 的 边 数 : 这样就能通过可供使用的边数来求出方案数。然后我们再来看如何求出一棵树中可供使用的边数: 使使

对 于 一 棵 树 u , 存 在 u 的 一 棵 子 树 v , 如 果 v 中 可 供 使 用 的 边 为 奇 数 , 那 么 就 需 要 占 用 u − v 边 , 所 以 v 没 有 对 u 贡 献 可 对于一棵树u,存在u的一棵子树v,如果v中可供使用的边为奇数,那么就需要占用u-v边,所以v没有对u贡献可 uuvv使uvvu 使 用 的 边 。 ( v 中 可 使 用 的 边 不 属 于 u ) 使用的边。(v中可使用的边不属于u) 使v使u
否 则 , v 中 可 使 用 的 边 数 为 偶 , 就 不 会 占 用 u − v 边 , 此 时 v 就 可 以 贡 献 一 条 可 用 的 边 。 否则,v中可使用的边数为偶,就不会占用u-v边,此时v就可以贡献一条可用的边。 v使uvv

我 们 按 照 上 述 的 规 则 , 用 树 形 d p 求 解 即 可 。 我们按照上述的规则,用树形dp求解即可。 dp
状 态 表 示 : f [ u ] 为 以 u 为 根 的 子 树 , 能 够 匹 配 的 方 案 数 为 多 少 。 状态表示:f[u]为以u为根的子树,能够匹配的方案数为多少。 f[u]u
状 态 转 移 : 直 接 通 过 乘 法 原 理 合 并 u 树 和 其 子 树 v 的 贡 献 即 可 。 状态转移:直接通过乘法原理合并u树和其子树v的贡献即可。 uv

补 充 : C 2 2 ∗ C 4 2 ∗ … ∗ C n − 2 2 ∗ C n 2 ( n / 2 ) ! 的 化 简 过 程 : 补充:\\fracC_2^2*C_4^2*…*C_n-2^2*C_n^2(n/2)!的化简过程: (n/2)!C22C42Cn22Cn2
= n ! ( n / 2 ) ! ∗ 2 n / 2 =\\fracn!(n/2)!*2^n/2 =(n/2)!2n/2n!
= n ! ( 1 ∗ 2 ) ∗ ( 2 ∗ 2 ) ∗ … ∗ ( n / 2 ∗ 2 ) =\\fracn!(1*2)*(2*2)*…*(n/2*2) =(12)(22)(n/22)n!
= n ! 2 ∗ 4 ∗ … ∗ ( n − 2 ) ∗ n =\\fracn!2*4*…*(n-2)*n =

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