2021 ICPC上海 G.Edge Groups（树形dp）

Posted 2022-11-11 lwz_159

题目描述

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题目大意

给出一个点数为n的树（n为奇数），将n-1条边两两分组。每组内需要满足：有两条边，且这两条边要有一个公共点。

题目分析

$通过找规律我们可以发现：对于以u为根的树和它的子节点v，如果v子树可以匹配边数为偶数，那么u-v这条边$$对于u树来说就是可用的。如果v子树可以匹配的边数为奇数，那么v子树匹配完后会剩下一条边，而能与这条剩$$边能匹配的只有u-v边，因此u-v边对于u子树来说即为不可用的边。$

$而对于一棵树的可用边来说，对其两两分组的方案是为(设边数为n且n为偶数)：$
$$\frac{C_2^2\ast C_4^2\ast \dots \ast C_{n-2}^2\ast C_n^2}{(n/2)!}$$
$从n条边里选2条匹配C_n^2，从n-2条边里选2条匹配C_{n-2}^2，\dots \dots$
$这样算出选出n/2对匹配的方案数后，会有(n/2)!的重复$

$经过化简后可以得到：$
$$1\ast 3\ast \dots \ast (n-3)\ast (n-1)$$

$这样就能通过可供使用的边数来求出方案数。然后我们再来看如何求出一棵树中可供使用的边数：$

$对于一棵树u，存在u的一棵子树v，如果v中可供使用的边为奇数，那么就需要占用u-v边，所以v没有对u贡献可$$使用的边。（v中可使用的边不属于u）$
$否则，v中可使用的边数为偶，就不会占用u-v边，此时v就可以贡献一条可用的边。$

$我们按照上述的规则，用树形dp求解即可。$
$状态表示：f[u]为以u为根的子树，能够匹配的方案数为多少。$
$状态转移：直接通过乘法原理合并u树和其子树v的贡献即可。$

$补充：\frac{C_2^2\ast C_4^2\ast \dots \ast C_{n-2}^2\ast C_n^2}{(n/2)!}的化简过程：$
$=\frac{n!}{(n/2)!\ast 2^{n/2}}$
$=\frac{n!}{(1\ast 2)\ast (2\ast 2)\ast \dots \ast (n/2\ast 2)}$
$=$