Fear Factoring（数论，除法分块）

Posted 2022-10-29 如风如影�

Fear Factoring

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题意：给a,b两个数，求a到b所有数的因数和。

题目分析：我们考虑依次枚举1-n中的每一个约数，比如在1-7中，2是2、4、6的约数，3是3、6的约数，4是4的约数，可以发现每一个约数x在1-7中出现的次数是7/x(向下取整),推广到一般情况,对于1-n中的约数x，它最多是n/x个 数 的因子，也就是说，我们要求S(题目描述中有),可以分别求出每一个约数(这里的约数就是1-n中的每一个数)出现的次数并和约数相乘在累加。
比如：
1-n：    1  2 3  4  5  6  7  8  9  10
次数：  10 5 3  2  2  1  1  1  1   1

如果暴力找的话，时间复杂度太高，所以就用到了除法分块，经过观察可以发现，有某个区间的约数，出现的次数是一样的，所以用除法分块将这个区间找到，然后根据数列性质求和。
所谓分块，就是把一段数分成不同的区间，而这些区间的每一个数除以同一个数的值是相同的，所以我们就把这些区间统一处理，就不用再来一个一个遍历

例: 问题中我们假设n = 10。那么我们现在分一下1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。

我们知道初始l肯定是等于1，每次算到了r后，再把l更新到r + 1即可。那么关键是r怎么确定?
先一步一步解释: (n / l)代表的是值为(n / l)的一类数的评定标准，也是这个区间的每一个数对答案的增长的价值。
那么n / (n/l)，就是代表这一类数的最大值(也就是右端点r)。

以下式子都可以用除法分块

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ull unsigned long long
ull l,r;
ull solve(ull n)

    
    ull sum=0;
    for(ull l=1,r;l<=n;l=r+1)
    
        r=n/(n/l);//除法分块
        sum=sum+(n/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;//等差数列求和
    //(n/l)为该因子出现的次数   n/(n/l)为出现该因子次数的最大因子。
    return sum;  

int main()

    ull a,b;
    cin>>a>>b;;
    cout<<solve(b)-solve(a-1)<<endl;
    return 0;