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Posted 2022-10-17 sun897949163

线段树是一棵二叉树，树中的每一个结点表示了一个区间[a,b]。

a,b通常是整数。每一个叶子节点表示了一个单位区间(长度为1)。

对于每一个非叶结点所表示的结点[a,b]，其左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b](除法去尾取整）。

特点：

1.每个区间的长度是区间内整数的个数
2.叶子节点长度为1，不能再往下分
3.若一个节点对应的区间是[a,b],则其子节点对应的区间分别是[a,(a+b)/2]和[ (a+b)/2+1,b] （除法去尾取整）
4.线段树的平分构造，实际上是用了二分的方法。若根节点对应的区间是[a,b],那么它的深度为log2(b-a+1) +1 (向上取整）。
5.叶子节点的数目和根节点表示区间的长度相同.
6.线段树节点要么0度，要么2度, 因此若叶子节点数目为N,则线段树总结点数目为2N-1
7.初始区间的大小为N， 那么线段树的最终节点数为(4*N-1)

建树要求：

1.如果有某个节点代表的区间，完全属于待分解区间，则该节点为“终止”节点，不再继续往下分解
2.所有“终止”节点所代表的区间都不重叠，且加在一起就恰好等于整个待分解区间
3.区间分解的时候，每层最多2个“终止节点”，所以 终止节点总数也是log(n)量级的

使用特征

1.线段树的深度不超过log2(n)+1（向上取整，n是根节点对应区间的长度）。
2.线段树上，任意一个区间被分解后得到的“终止节点”数目都是log(n)量级。
3.线段树上更新叶子节点和进行区间分解时间复杂度都是O(log(n))的
4.线段树能在O(log(n))的时间内完成插入数据，更新数据、查找、统计等工作

使用注意

1.必须是对区间所对应的一些数据进行修改，过程和查询类似操作
2.用线段树解题，关键是要想清楚每个节点要存哪些信息（当然区间起终点，以及左右子节点指针是必须的）
3.这些信息如何高效更新，维护，查询。不要一更新就更新到叶子节点，那样更新效率最坏就可能变成O(n)的了。
4.先建树，然后插入数据，然后更新，查询。

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Language:Default A Simple Problem with Integers

Time Limit: 5000MS		Memory Limit: 131072K
Total Submissions: 94305		Accepted: 29382
Case Time Limit: 2000MS

Description

You have N integers, A₁, A₂, … , A_N. You need to deal with two kinds of operations. One type of operation is to add some given number to each number in a given interval. The other is to ask for the sum of numbers in a given interval.

Input

The first line contains two numbers N and Q. 1 ≤ N,Q ≤ 100000.
The second line contains N numbers, the initial values of A₁, A₂, … , A_N. -1000000000 ≤ A_i ≤ 1000000000.
Each of the next Q lines represents an operation.
”C a b c” means adding c to each of A_a, A_a+1, … , A_b. -10000 ≤ c ≤ 10000.
”Q a b” means querying the sum of A_a, A_a+1, … , A_b.

Output

You need to answer all Q commands in order. One answer in a line.

Sample Input

10 5 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Q 4 4 

Q 1 10 

Q 2 4 

C 3 6 3 

Q 2 4 

Sample Output

4 

55 

9 

15

Hint

The sums may exceed the range of 32-bit integers.

Source

POJ Monthly–2007.11.25, Yang Yi
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无耻上代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 100010

using namespace std;

struct node 
    int l, r;
    long long sum, add;
tree[maxn << 2];

void pushup(int root)

    tree[root].sum = tree[root << 1].sum + tree[root << 1 | 1].sum;


void pushdown(int root, int m)

    if (tree[root].add)
    
        tree[root << 1].add += tree[root].add;
        tree[root << 1 | 1].add += tree[root].add;
        tree[root << 1].sum += tree[root].add * (m - (m >> 1));
        tree[root << 1 | 1].sum += tree[root].add * (m >> 1);
        tree[root].add = 0;
    


void build(int l, int r, int root)

    tree[root].l = l;
    tree[root].r = r;
    tree[root].add = 0;
    if (l == r)
    
        scanf("%lld", &tree[root].sum);
        return;
    
    int mid = (tree[root].l + tree[root].r) / 2;
    build(l, mid, root << 1);
    build(mid + 1, r, root << 1 | 1);
    pushup(root);


void update(int c, int l, int r, int root)

    if (tree[root].l == l && tree[root].r == r)
    
        tree[root].add += c;
        tree[root].sum += (long long)c * (r - l + 1);
        return;
    
    if (tree[root].l == tree[root].r)
        return;

    pushdown(root, tree[root].r - tree[root].l + 1);

    int mid = (tree[root].l + tree[root].r) >> 1;
    if (r <= mid)
        update(c, l, r, root << 1);
    else if (l > mid)
        update(c, l, r, root << 1 | 1);
    else
    
        update(c, l, mid, root << 1);
        update(c, mid + 1, r, root << 1 | 1);
    

    pushup(root);


long long query(int l, int r, int root)

    if (l == tree[root].l && r == tree[root].r)
        return tree[root].sum;

    pushdown(root, tree[root].r - tree[root].l + 1);

    int mid = (tree[root].r + tree[root].l) >> 1;
    long long res = 0;
    if (r <= mid)
        res += query(l, r, root << 1);
    else if (l > mid)
        res += query(l, r, root << 1 | 1);
    else
    
        res += query(l, mid, root << 1);
        res += query(mid + 1, r, root << 1 | 1);
    

    return res;


int main(void)

    int n, m;
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)
    
        build(1, n, 1);
        while (m--)
        
            char ch[2];
            scanf("%s", ch);
            int a, b, c;
            if (ch[0] == 'Q')
            
                scanf("%d %d", &a, &b);
                printf("%lld\\n", query(a, b, 1));
            
            else
            
                scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
                update(c, a, b, 1);
            
        
    
    return 0;