[382]. 链表结点

Posted 2022-10-16 Debroon

[382]. 链表结点

• • 题目
  • 算法设计：数组取摸
  • 算法设计：蓄水池抽样

 

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题目

传送门：https://leetcode.cn/problems/linked-list-random-node/

 

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算法设计：数组取摸

思路：单链表不能随机访问，数组才可以。所以，我们用一个数组保存链表数据，再对数组求模实现随机选取。

class Solution 
    vector<int> arr;
public:
    Solution(ListNode *head) 
        while (head) 
            arr.push_back(head->val);      // 数组保存
            head = head->next;
        
    
    int getRandom() 
        return arr[rand() % arr.size()];   // 随机选取
    
;

时间复杂度：$\theta (n)$

空间复杂度：$\theta (n)$
 

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算法设计：蓄水池抽样

蓄水池抽样，是一种用于解决数据流的多次公平随机采样算法。

• 多次、等概率、随机采样：字面意思，拒绝采样、洗牌算法也可以实现。
• 数据流：不是一次性给出所有数据，而是一个数据流，不知道到底有多少数据。蓄水池算法的特点，在于数据流上。

数据是不固定的，蓄水池抽样的思路是，建立一个能存储 k 个元素的蓄水池。

k 是可以动态调整的，可大可小。

步骤：

• 从数据流中，放入 k 个元素进入蓄水池 [0, k-1]
• 从数据流中第 k + 1 个数据开始算，处理第 i （k + 1）个元素，随机生成 [0, i-1] 之间的索引 j
• 如果 j 在 [0, k-1] 之间，则替换蓄水池[j]，否则，扔掉

这样就能保证，每个元素都会以等概率（$\frac{k}{k+1}$）出现在蓄水池中。

【数学证明】（可跳过）

前 k 个数据都在蓄水池内，从第 k + 1 个新数据开始。

处理完第 k+1 个元素，蓄水池相当于见到了 k+1 个元素，每个元素都是以 $\frac{k}{k+1}$ 出现在蓄水池中。

从数据流中第 k + 1 个数据开始算，在 [0, k] 之间生成一个索引，如果在蓄水池范围内 [0, k-1]，则替换蓄水池中的索引位置。

• 新元素出现在蓄水池的概率是：$\frac{k}{k+1}$，只有在最后一个索引位置才不能出现在蓄水池

对于天生（前 k 个元素）就处于蓄水池中的元素，每个元素被替换的概率是：$\frac{1}{k+1}$。

• 反过来说，经过调整后，原本元素都有 $\frac{k}{k+1}$ 的概率继续留在蓄水池

所以说，每个数据出现在蓄水池的概率是 $\frac{k}{k+1}$。

class Solution 
    ListNode *head;
public:
    Solution(ListNode *head) 
        this->head = head;
    
    int getRandom() 
        int i = 1;
        // i 用于记录新的元素的索引，i = 1 表示蓄水池只能存储 1 个元素 
        int ans = head->val;
        // 提前把第 1 个元素放入蓄水池
        for (auto node = head->next; node != nullptr; node = node->next, i ++) 
        // 新元素是从数据流第 2 个元素开始取，如果链表不为空，再接着取下一个元素 | 新取元素索引 + 1，记录目前是第几个元素
        	int j = random() % (i + 1);     
        	// 随机生成 [0, k] 之间的索引
			if ( j == 0 ) ans = node->val;  
			// 如果 j 处于蓄水池范围内，这里的蓄水池容量为 1，范围是 [0, 0]
        
        return ans;
    
;

时间复杂度：$\theta (1)$

空间复杂度：$\theta (1)$