拉格朗日反演
Posted alan_cty
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了拉格朗日反演相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
偶然间看到zjt的古明地恋模拟赛，发现自己只会做第一题QwQ
点开题解发现这个D好像要用什么叫拉格朗日反演的东西就去学了一波
然而连抽象代数是什么都不知道的我当然没看懂只能背式子==!
于是这里只是给出一些式子，证明什么的太毒瘤了看ZJT的博客
或者鏼爷在WC2015上的营员交流
1"若两个多项式f(x),g(x)，满足都没有常数项且一次项系数互为逆元，且f(g(x))=x，那么称f(x)为g(x)的复合逆
这里f(g(x))会等于g(f(x))，因为复合运算构成了一个群。
2”设我们已知g(x)要求f(x)的某一项的系数，那么有
[
x
n
]
f
(
x
)
=
1
n
[
x
n
−
1
]
(
x
g
(
x
)
)
n
[x^n]f(x)=1\\over n[x^n-1](x\\over g(x))^n
[xn]f(x)=n1[xn−1](g(x)x)n
这个东西就是拉格朗日反演
还有一个叫做扩展拉格朗日反演的东西：
[
x
n
]
H
(
F
(
x
)
)
=
1
n
[
x
n
−
1
]
H
′
(
x
)
(
x
G
(
x
)
)
n
[x^n]H(F(x))=1\\over n[x^n-1]H'(x)(x\\over G(x))^n
[xn]H(F(x))=n1[xn−1]H′(x)(G(x)x)n
其中F(x)和G(x)互为复合逆
H’(x)是H(x)的导数
例题好像除了LOJ6363地底蔷薇我只找到BZOJ3684大朋友和多叉树，大概平常不会有毒瘤出题人考这种东西吧(flag)
以上是关于拉格朗日反演的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章