深度学习——深度学习中的梯度计算

Posted 2022-09-20 格格巫 MMQ!!

梯度下降在【机器学习基础】中已经总结了，而在深度学习中，由于模型更加复杂，梯度的求解难度更大，这里对在深度学习中的梯度计算方法进行回顾和学习。

本节主要是了解深度学习中（或者说是tensorflow中）梯度的计算是怎么做的。

1. 计算图
     在学习tensorflow中，我们知道tensorflow都是基于图来进行计算的，那么什么是计算图呢？

所谓计算图就是将一个function利用图的结构来进行表示。如图所示：

上面的图就表示a=f(b,c)这样一个方程，而图的节点表示变量，图的边表示操作(operation)。

再比如方程f=f(g(h(x)))这样一个方程，用计算图来表示：

之所以用计算图来表示方程，是因为图能够使得方程的结构更加清晰，计算顺序上一目了然，同时为后面的梯度提供了很大的便利性。接着往后看。

有了计算图，根据一个计算式，我们就可以构建出一张图出来，比如：

根据所建立的图，给定a=2,b=1，则可以顺着图结构顺利求出e。

2. 计算图的链式求导法则
     例子1：函数z=h(g(x))，按照上面的做法，将其变成计算图如图所示：
   

根据链式求导求dz/dx，z先对y求导，然后y再对x求导得到：

例子2：另一个更复杂的z=k(g(s), h(s))这样一个函数，求dz/ds，首先建立一张计算图：

根据链式求导法则，s和x、y均有关系，因此z对x求导，x再对s求导是一条路，然后z对y求导，y再对s求导另一条路，两条路相加得到：

上面就是链式求导法则，那么链式求导法则在图计算中如何应用呢，继续使用上面那个e=(a+b)*(b+1):

根据我们建立的计算图和链式求导法则，求de/db：

然后分别对每个边的导数进行计算：

那么假如a=3,b=2，求e对b的导数，a、b代进上面的每条边上，将所要求的导数记为1，从1开始出发：

那么最后沿着红色的箭头一路计算b到e的路径就可以了（这里可以不用管节点的值）：

从这里可以看到，图计算在求导数的计算中非常便利且清晰。

那么这么对于梯度的求解有什么好处呢？我们可以用reverse mode，利用图计算，从顶端开始，向底部走：

还是如果求e对b的导数，这次从e开始走，e=1，然后向下走能够到达b的每一条路：

也就是图中绿色的箭头的方向，即为reverse mode。需要求e对a的导数，则就从e一路走到a就可以了

这里注意，反向的路径箭头必须是反向的，也就是只能沿着绿色的箭头能够到达a的路径，因此从e到a只有一条路：

下面再举一个例子:

建立计算图后，然后为每个边补上对应的导数，这里需要注意，v=x2，那v对x的导数应该是2x，但是这里x*x相当于是两个变量，要区分对待，当做x1、x2：

接下来求y对x的导数，沿着红色的箭头，一共有3条路径：

3. 深度学习中的梯度计算
     有了上面的计算图和反向求导，以及几个示例的说明，对于深度学习中的梯度计算就有了一个初步的雏形了。不过是在深度学习中的方程更加复杂而已。

我们只需要能够画出深度学习中的计算图，那么计算梯度也就水到渠成。

3.1 全连接网络的梯度计算
  首先来看全连接神经网络，在【机器学习基础】中对反向传播的过程进行了描述，分为前向和后向两个方面：

红色框中的正向传播用于求z对w的导数，绿色框的反向传播用于求loss对z的导数，二者相乘最终得到loss对w的导数。

而反向传播像是从loss开始，向输出层传递的一种“正向传播”过程：

根据全连接网络的正向传播过程，整个网络的从输入到输出的方程为：

于是，按照上面这个方程，全连接网络的计算图表示如下（假设只有2个隐藏层）：

最终得到的y与真实的yhat计算loss，那么按照上面计算图以及导数计算的方法，则有：

在计算每一部分导数之前，由于网络的输入和中间变量均为矩阵，这里需要了解Jacobian Matrix（雅克比矩阵）：

y是21的矩阵，x是31的矩阵，那么y对x的导数：

行数是y原来的size，列数为原来x的size。比如：

接下来回到全连接的计算图的梯度计算，使用reverse mode，从后向前一部分一部分来看：

首先是loss C对y的导数，在计算loss时，采用cross entropy：

C是一个数，y是一个m1矩阵（m表示类别数量）,那么根据Jacobian Matrix 知道C对y的导数为1m。

假设样本属于第r类，那么第r维=1，其他为0，因此用矩阵的形式计算：

接下来看下一层：

y对z2的导数，首先可以确定y对z2导数的形状，y为101，z2经过σ激活函数，形状不变，一次z2也是101的矩阵，那么y对z2的导数为一个方形；

而y=σ(z2)，那么根据Jacobian Matrix，当yi是由zi求出来的元素才有值，其他y不是由z计算得来的那些都为0（因为二者根本没有关系）。

因此y对z2的导数是一个方形的对角矩阵。

然后继续到下一层：

z1是由w2和a1得到的：

首先看z2对a1的导数，a1是前一层的输出，那么有：

因此，z2对a1的导数就是W2。

然后是z2对W2的导数，z2是1m的矩阵，W2是一个mn的矩阵（n为上一层的输出维度），那么导数就是这样的：

这个可以理解为矩阵中元素依旧是矩阵的形式，而其中当i=j时，z2(i)对w2(j)的导数为a1，i≠j时，z2i与w2j没有关系， 到时为0。于是：

网络再继续往前，跟上述的过程基本一致，那么最后得到计算图的每一边上的导数：

那么此时可以求loss对任意参数的导数：

3.2 RNN中的梯度计算
  RNN的梯度计算也一样是根据计算图来一步一步地对每一部分求导，然后再用reverse mode计算loss对各个参数的导数。RNN的基本结构如下：

对于每一部分，按照计算图的形式，正常的计算图应该是这样的：

为方便计算和图的简洁性，将上图改为下面这样：

那么对于整个RNN网络的结构的计算图：

每一个时刻都要计算一个loss C，然后对于一个样本，要将所有时刻的C相加得到最终的loss。

有了计算图，然后计算每个边上的导数：

这里对于每条边的具体计算过程就不再展开了，接下来就可以求C对wh和C对wi的导数了：

这里需要注意的是，wh有3个，因此也是由三部分相加，而对于每一个wh，又有可能有多条路径，如①号wh，一共有三条路径：

C→C1→y1→h1→wh

C→C2→y2→h2→h1→wh

C→C3→y3→h3→h2→h1→wh

②号wh只有两条路径，③号wh有一条路径。注意这里的路径都是只能沿着红色箭头的方向行进到达wh的路径。

最终得到三部分wh的导数，然后进行相加：

这样就完成了RNN的梯度的计算。在tensorflow中就是这么运作的。