对偶空间（dual linear space）

Posted 2022-09-19 五道口纳什

1. 定义

设 $V$ 为定义在数域 $F$ 上的向量空间，定义 $V$ 上的线性函数是从 $V$ 到 $F$ 的映射：$f:V\\rightarrow F$，且满足 $\\forall x, y\\in V, k\\in F$ 有：$f(x+y)=f(x)+f(y), f(ka)=kf(a)$。

现考虑 $V$ 上所有线性函数（$f: V\\rightarrow F$）的集合 $V^\\star$。对 $\\forall f, g \\in V^\\star, x\\in V, k\\in F$，可以在 $V^\\star$ 定义如下的标量乘法和加法（向量加法）：

• 标量乘法：$g(kx)=kg(x)$
• 加法：$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$（向量加法，是由定义出来的）

在上述意义下，可以证明 $V^\\star$ 是域 $F$ 上的向量空间，称为 $V$ 的对偶空间。

最后，更准确的说，对偶空间里的元素是“线性泛函”（linear functional），这是一种特殊的线性映射。

2. 简单性质

• covector：vectors in the dual space，对偶空间中的向量称为 covector（协向量）
  $\\alpha\\in V^\\star, v\\in V ⇒ \\alpha(v)\\in \\mathbb R$，covector 以 vector 为输入，以 scalar 为输出；

• 从基的角度继续考察对偶空间，如果 $V$ 表示一个有限维空间，则 $\\dim V=\\dim V^\\star$

  • 假定 $V: \\e_i\\_i=1,\\ldots,n$（由基向量长成的线性空间），$V^\\star=\\e^i\\_i=1,\\ldots,n$，则有如下的定义：
  $$e^i(e_j)=\\delta_ij=\\left\\ \\beginsplit 1, \\quad &i=j\\\\ 0,\\quad &\\textotherwise \\endsplit \\right.$$

  对偶空间中的向量称为 covector，如性质一所说，covector 接受线性空间中的向量，输出一个标量；