高等数学总结（曲线，曲面积分1）

Posted 2022-08-23 广州接入



1）第一类曲线积分（对弧长的积分）

      对光滑曲线L,有某个函数f(x,y)在该曲线上有界，则有如下积分定义：
   
      被积函数f(x,y)表达了在曲线L上的一种数量性质，比如密度，热度之类的。
     第一类曲线积分有如下三个性质：
     A）常数因子可提，函数相加的弧长积分等于函数对弧长分别积分的和；
     B） 对弧长L的积分，如果L=L1+L2+...+Ln，则满足弧长L的积分等于各段弧长积分的和；（可加性）；
     C） 如果在弧长 L上，函数f(x,y)<=g(x,y)：

     D）第一类曲线积分公式（计算方法）：
       
       其中f(x,y)是弧段L上的某种性质(数量性)函数,L有参数方程给定:x=φ(t),y=ψ(t),α<=t<=β.

     第一类曲线积分可以很容易推广到三维空间：
   
   
2）对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分，被积函数一般是弧段上的向量函数(比如求力函数的做功），这是与第一类积分中的积分函数所区别的地方。
其积分表达为：

其中P(x,y),Q(x,y)是被积函数。对应的向量形式为F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j
第二类曲线积分也很容易推广到三维空间，第二类曲线积分具有如下性质：
A）函数相加的积分等于各函数分别积分的和；（与第一类曲线积分类似）
B）积分区段可加性（与第一类曲线类似）
C）第2类曲线积分的积分弧段是有方向的，从A到B积分等于从B到A积分的相反数。（第一类积分不具有这种性质）
D）计算公式：

其中F(x,y)=P*i+Q*j是弧段L上的某种性质(向量性)函数,L有参数方程给定:x=φ(t),y=ψ(t),α<=t<=β.
对坐标的曲线积分也可以很容易推广到三维：

3）两类曲线之间的关系

其中cosα,cosβ是有向弧段L的切向量的方向余弦,满足：

4）格林公式：

格林公式提供了二重积分到坐标曲线积分之间的转换公式（弧长积分可以通过两类积分关系来变换）。
5）曲线积分与路径无关的充分必要条件是：
积分：

满足：

6）全微分求积
P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某个函数u=u(x,y)的全微分的充分必要条件是：

B)全微分求积：

如果du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,u=u(x,y):
或者：

7）全微分方程：
     方程：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数u(x,y)的全微分,则方程是全微分方程。其通解如下：

8）曲线积分的基本定理：

9）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：

其中f(x,y,z)是曲面z=z(x,y)上的向量性质函数。第一类曲面积分的性质与第一类曲线积分的性质类似；
10）第2类曲面积分：

性质和第二类曲线积分类似；
计算：

注意：z=z(x,y).类似的可以给出P,Q的积分方式,但要注意符号。

11)两类曲面积分的关系：

其中 α,β,γ是曲面Σ在点(x,y,z)的法向量的方向夹角。