[AGC058D]Yet Another ABC String

Posted 2022-08-18 StaroForgin

Yet Another ABC String

题解

首先看到这个题，一个方向是去考虑容斥。
可以发现，如果有连续不合法部分的话，可以发现，他一定是一段连续的$...ABCABCABCABC...$。
这是一个非常好的性质，因为如果我们之间容斥不合法位置的起点集合的话是非常麻烦的，这可以让我们得到一个非常好的转化。
每次强制原串中的一些部分呈现我们上面所说的这样的连续段，容斥我们这些连续段的集合。

考虑选择一个这样长度为$n$的段，它所贡献容斥系数。
手推一下前几项可以发现，容斥系数在模$3$为$0$的位置上为$-1$，在模$3$为$1$的位置上为$1$，模$3$为$2$的位置上为$0$。
证明大概可以考虑通过递推式归纳证明，不是很会证明。（先留个坑）
好的，既然知道这东西了，我们也就很容易设计出来一个$dp$转移。
由于有效的要么是模$3$为$0$，要么模$3$为$1$，相当于要么让所有数都减去同样的个数，要么在这基础上挑一个数多减一次。
定义$d{p}_{i,j}$表示在构造一个长度为$i$的串，让每个数减去$\frac{i-j}{3}$，并且，进行$j$次挑一个数多减$1$的操作，得到的总系数和。
可以得到其转移式：
$$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,k-1}+\sum _{k=1}^{\min (i,3j+1)}[k\equiv 1(\mathrm{mod}3)]d{p}_{i-k,j-\frac{k-1}{3}}-3[k\equiv 0(\mathrm{mod}3)]d{p}_{i-k,j-\frac{k}{3}}$$其中$d{p}_{i-1,k-1}$表示这个位置没被选择容斥，$3$的系数是由于模$3$为$0$的情况有$ABC,BCA,CAB$三种结构，模$3$为$1$的情况结构是固定的，没必要乘$3$。
答案显然可以通过$dp$值算出来，有
$$Ans=\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3i}{A-i,B-i,C-i}\right)d{p}_{n,n-i}$$。
再对上面的式子根据模$3$余数加个前缀和优化，我们就得到一个简单的$O\left(n^2\right)$的$dp$做法了。

接下来让我们来看看怎么优化上面的这个$dp$，不妨考虑生成函数。
定义二元生成函数$G(x,y)$，其中$[x^i{y}^j]G$代表$d{p}_{i,j}$的值。
通过$G$的递推式可以得到，
$$\begin{gathered} F=x+\sum _{i=1}^{\infty }{x}^{3i+1}{y}^i-3x^{3i}{y}^i=\frac{x-3x^{3}y}{1-x^{3}y} \\ G=\sum _{i=0}^{\infty }{F}^i=\frac{1}{1-F(x,y)}=\frac{1-x^{3}y}{1-x+2x^{3}y} \end{gathered}$$同样，考虑现在答案怎么计算。
$$Ans=\sum _{i=0}^{\min (A,B,C)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3i}{A-i,B-i,C-i}\right)[x^n{y}^i]G$$令$G^{\prime }=$

[AGC058D]Yet Another ABC String

D. Yet Another Yet Another Task (ST表模版 + 单调队列)

CF-1359 D. Yet Another Yet Another Task ST表+单调队列

CF-1359 D. Yet Another Yet Another Task ST表+单调队列

Educational Codeforces Round 88 (Rated for Div. 2) D. Yet Another Yet Another Task

Educational Codeforces Round 88 (Rated for Div. 2) D. Yet Another Yet Another Task