动态规划三：常见状态与常见递推关系式

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了动态规划三：常见状态与常见递推关系式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

动态规划三：常见递推关系式

 

常见状态

坐标型

  • dp[i]：从起点到坐标 i 的最值/方案数/可行性
  • dp[i][j]：从起点到坐标 i, j 的最值/方案数/可行性
     

前缀划分型

  • dp[i]：前 i 个字符的最值/方案数/可行性
  • dp[i][j]：前 i 个字符划分为 j 个部分的最值/方案数/可行性
     

前缀匹配型

  • dp[i][j]：第一个字符串的前 i 个字符匹配上第二个字符串的前 j 个字符的最值/方案数/可行性
     

区间型

  • dp[i][j]：区间 i-j 的最值/方案数/可行性
     

背包型

  • dp[i][j]：前 i 个物品里选出一些物品组成和为 j 的大小的最值/方案数/可行性
     

常见递推关系式

动态规划虽然飘逸，但还是有规律可循，前人还是总结了好几种常见的递推关系模式。

动态规划算法有三个要素：

  • 所有不同的子问题所组成的表（它包含的问题数目称为问题的大小，即 size）；
  • 问题解决的依赖关系可以看成是一个图；
  • 填充子问题的顺序（实际上就是（2）所得到的图的一个拓扑排序）。

如果子问题的数目为 θ ( n t ) \\theta(n^t) θ(nt)，且每个子问题需要依赖于 θ ( n e ) \\theta(n^e) θ(ne) 个其他子问题，则称这个问题为 t D e D \\fractDeD eDtD​ 问题。

总结起来可得到四种典型的动态规划关系递推方程： 1 D 1 D \\frac1D1D 1D1D​、 2 D 0 D \\frac2D0D 0D2D​、 2 D 1 D \\frac2D1D 1D2D​、 2 D 2 D \\frac2D2D 2D2D​。
 

1 D 1 D \\frac1D1D 1D1D​

定义一个实函数 w ( i , j ) ( 1 ≤ i < j ≤ n ) w(i,j)(1\\leq i< j\\leq n) w(i,j)(1≤i<j≤n)，已知 D [ 0 ] D[0] D[0]，状态转移方程：

  • E [ j ] = o p t 0 ≤ i < j D [ i ] + w ( i , j ) , i ≤ j ≤ n E[j]=\\underset 0\\leq i<jopt \\D[i]+w(i,j)\\,i\\leq j\\leq n E[j]=0≤i<jopt​D[i]+w(i,j),i≤j≤n

P.S. opt 是最优关系，可能是 max，也可能是 min。

其中， D [ i ] D[i] D[i] 可以根据 E [ i ] E[i] E[i] 在常数时间内计算出来。

《算法导论》里的切分钢条，锯木头问题，最长上升子序列都是这种结构。
 

2 D 0 D \\frac2D0D 0D2D​

已知 D [ i , 0 ] D[i,0] D[i,0] 和 D [ 0 , j ] ( 0 ≤ i , j ≤ n ) D[0,j](0\\leq i,j\\leq n) D[0,j](0≤i,j≤n)，状态转移方程为：

  • E [ i , j ] = o p t D [ i − 1 , j ] + x i ， D [ i , j − 1 ] + y i ,   D [ i − 1 , j − 1 ] + z i j E[i,j]=opt\\D[i-1,j]+x_i，D[i,j-1]+y_i, ~D[i-1,j-1]+z_ij\\ E[i,j]=optD[i−1,j]+xi​，D[i,j−1]+yi​, D[i−1,j−1]+zij​

其中， x i , y i , z i x_i,y_i,z_i xi​,yi​,zi​ 都是可以在常数时间内算出来的。

线性DP（如最长公共子序列）、串DP 问题，多是这种结构，具体的理解，您要在行动中来思考。
 

2 D 1 D \\frac2D1D 1D2D​

定义实函数 w ( i , j ) ( 0 ≤ i < j ≤ n ) w(i,j)(0\\leq i< j\\leq n) w(i,j)(0≤i<j≤n)，已知 d [ i , j ] = 0 ( 1 ≤ i ≤ n ) d[i,j]=0(1\\leq i \\leq n) d[i,j]=0(1≤i≤n)，状态转移方程为：

  • D [ i , j ] = w ( i , j ) + o p t i ≤ k ≤ j D [ i , k − 1 ] + D [ k , j ] ( 1 ≤ i < j ≤ n ) D[i,j]=w(i,j)+\\underset i\\leq k \\leq jopt\\D[i,k-1]+D[k,j]\\(1\\leq i< j \\leq n) D[i,j]=w(i,j)+i≤k≤jopt​D[i,k−1]+D[k,j](1≤i<j≤n)

区间动态规划模型多是这种结构。

区间动态规划，顾名思义，就是求解一个区间内的某种最优解，这种题目在分解子问题的时候，通常考虑子问题就是其中任意一个子区间，而规划的内容就是如何分解子区间。无论题目内容怎样，算法的实现模式基本上就是一个如下所示的三重循环。

for(区间长度 size：从最小可分区间开始到最大区间长度)

    for(小区间起始位置 i：从第一个位置开始到区间长度 size 所决定的结束位置)
    
        j = i + szie - 1; // j 定义区间结束位置，具体计算方法因问题而异
        for(区间分割点位置 k：从 i 开始到 j 结束) // 遍历所有区间 [i,j] 内的位置，将其分割为两个小区间
        
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i][k]+f[k][j] + 某种最优值计算方法)
            或
            f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j] + 某种开销计算方法)

第一重循环枚举区间的大小，一般是从最小可分解区间开始，直到最大区间长度。

为什么枚举区间长度要从“最小可分解区间”开始呢？

因为区间长度太小的话，不满足题目的分解区间要求，后续的处理也没有意义。具体的“最小可分解区间”的值，因题而异，比如三角形组合问题，最小区间长度至少是 3 条边才行，否则连一个三角形都凑不齐，后续还怎么处理？对于经典的“石子合并”问题，区间长度就是石子的堆数，要能够合并，至少要 2 堆石子吧，所以石子堆数就从 2 开始枚举。

实现模式的第二重循环是对区间内的起始位置开始枚举。

  • 第一重循环给定了区间的大小（范围）；

  • 第二重循环就尝试从区间的不同位置开始定义子区间。

    举个简单的例子，假设第一重循环给定了区间长度是 5，则第二重循环要处理的最大区间就是 [1,2,3,4,5]，第二重循环的作用就是分别尝试定义子区间，共可得到 5 个子区间： [1,2,3,4,5]、[2,3,4,5]、[3,4,5]、[4,5] 和 [5]；

  • 第三重循环就是尝试对每个子区间分解，假设前两重循环选择了第二步分解的 5 个子区间中的第 2 个子区间，也就是 [2,3,4,5]，则 k 的值就是从 2 到 5，拆分子区间，共得到三组拆分结果：[2] 和 [3,4,5]、[2,3] 和 [4,5]、[2,3,4] 和 [5]。对于每一组拆分结果，计算状态值：

state1 = f[2][2] + f[3][5] + 根据当前 k=2 的分解得到的某种最优值（或开销值） 
state2 = f[2][3] + f[4][5] + 根据当前 k=3 的分解得到的某种最优值（或开销值）
state3 = f[2][4] + f[5][5] + 根据当前 k=4 的分解得到的某种最优值（或开销值）

而后将三个 state 分别与 f [ 2 ] [ 5 ] f[2][5] f[2][5]以上是关于动态规划三：常见状态与常见递推关系式的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

动态规划三：常见状态与常见递推关系式

常见动态规划题 原理及Java实现

动态规划设计方法

动态规划初步

踩方格(动态规划,两种递推)

核心算法7动态规划算法