22杭电多校11 Find different（环计数问题）

Posted 2022-08-16 吃花椒的妙酱

题意：给定一个环，环大小为n，环上每个数取值范围为[0,m-1]，能通过旋转或者模m意义下整体加任意数得到的环视为同构体，求所以不同的方案数。

Solution:
\\quad 本题有两个同构体条件。先看模意义下加法，可以转化为差分数组。
\\quad 设环上的数为ai，设$b_i=a_i-a_{(i-1+mod)modm}$。因为整体是个环，所以有$\sum b_i=0$(模m意义下)。只考虑模意义下加法同构的话，也就是差分数组要不同的方案数为$m^{n-1}$（前n-1个bi任意取）
\\quad 现在加上旋转同构体考虑，通过上面的分析，我们现在只要关注差分数组bi旋转同构即可。
\\quad 我们用传统的环计数方法来推导（菜鸡博主不会用polyaQAQ）。考虑环的循环节，设$f(i)$表示环上最小循环节为i的方案数（含旋转同构，也就是说旋转同构会算重）,$g(i)$表示存在环循环节为i的方案数（含旋转同构）。比如说123123在g(6)中算，f(6)中不算,f(3)算。
\\quad 设循环节长度为d，则有$\frac{n}{d}$个循环节。设一节的bi数组和为$s(modm)$,有$s={\sum }_{i=1}^d{b}_i$。因为$\sum b_i=0(modm)$，则有$m\mid s\ast \frac{n}{d}$，其中s的范围为[0,m-1]等价于[1,m]（模m意义下）。假如符合上述约束的s有k个,则$g(d)=m^{d-1}\ast k$。
$k={\sum }_{i=1}^m[m\mid i\ast \frac{n}{d}]$，提出$gcd(m,\frac{n}{d})，设p=\frac{m}{gcd(m,\frac{n}{d})},设q=\frac{\frac{n}{d}}{gcd(m,\frac{n}{d})}$，显然pq互质。
$k={\sum }_{i=1}^m[p\mid iq]=\frac{m}{p}=gcd(m,\frac{n}{d})$
\\quad 则$g(d)=m^{d-1}\ast gcd(m,\frac{n}{d})$。而$g(d)={\sum }_{d^{\prime }\mid d}f(d^{\prime })$，由莫比乌斯反演有$f(d)={\sum }_{d^{\prime }\mid d}\mu (\frac{d}{d^{\prime }})g(d^{\prime })$。
\\quad 则 a n s ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) d ，去掉旋转同构 = ∑ d ∣ n 1 d ∑ d ′ ∣ d μ ( d d ′ ) g ( d ′ ) = ∑ d ∣ n 1 d ∑ d ′ ∣ d μ ( d d ′ ) m d ′ − 1 ∗ g c d ( m , n d ′ ) ans(n)=\\sum_d\\mid n\\fracf(d)d，去掉旋转同构\\\\=\\sum_d\\mid n\\frac1d\\sum_d'\\mid d\\mu(\\fracdd')g(d')\\\\=\\sum_d\\mid n\\frac1d\\sum_d'\\mid d\\mu(\\fracdd')m^d'-1*gcd(m,\\fracnd') ans(n)=∑d∣n​df(d)​，去掉旋转同构=∑d∣n​d1​∑d′∣d​μ(d′d​)g(d′)=∑d∣n​d1​∑<