算法刷题AcWing 90. 64位整数乘法——位运算

Posted 2022-08-05 Ricky_0528

求$a$乘$b$对$p$取模的值
输入格式
第一行输入整数$a$，第二行输入整数$b$，第三行输入整数$p$
输出格式
输出一个整数，表示$a\times bmodp$
数据范围
$1\le a,b,p\le 10^{18}$
输入样例

3
4
5

输出样例

2

---

①分析

这题使用到的算法为龟速乘，类似于快速幂，也可以用高精度

$$\begin{gathered} a\times bmodp这里相当于b个a相加modp，即用加法来表示乘方 \\ 因为数据范围很大，相乘就会爆longlong，因而要避免让两个数发生乘法 \\ 但如果直接一个一个加，加一次就模上一个p，这样时间复杂度为O(b)=10^{18}超时，需要降低\frac{1}{2}，故考虑二进制 \\ amodp \\ 2amodp \\ 4amodp \\ 8amodp \\ \dots \dots \\ {2}^{62}amodp \\ 发现下一个可以由上一个的二倍得到，类似于二进制 \\ 可以将b转化为二进制表示，设为(10101{)}_2，b=2^0+2^2+2^4 \\ a\times b=a+4a+16a \\ 因而只需要a每次乘以二倍模上p迭代，然后看b的二进制哪些位上为1，为1结果就加上当前a的值，为0则跳过 \\ 复杂度就降为了O(logb) \end{gathered}$$

②代码

#include <cstdio>

typedef long long LL;

LL mul(LL a, LL b, LL p)

    LL res = 0;
    while (b)
    
        if (b & 1)
            res = (res + a) % p;
        a = 2 * a % p;
        b >>= 1;
    
    
    return res;


int main()

    LL a, b, p;
    scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p);
    
    printf("%lld\\n", mul(a, b, p));
    
    return 0;

③细节分析

LL mul(LL a, LL b, LL p)

    LL res = 0;
    while (b)
    
        if (b & 1) // 判断当前位是否为1
            res = (res + a) % p;
        a = 2 * a % p; // b右移的同时a每次乘2即可得到a、2a...
        b >>= 1;
    
    
    return res;