蓝桥杯试题 算法训练 印章

Posted 2022-06-24 Alex_996

资源限制
内存限制：256.0MB C/C++时间限制：1.0s Java时间限制：3.0s Python时间限制：5.0s

问题描述
　　共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。
　　
输入格式
一行两个正整数n和m

输出格式
一个实数P表示答案，保留4位小数。

样例输入
2 3

样例输出
0.7500

数据规模和约定
1≤n，m≤20

题目链接

Ideas

首先要确定题目类型，虽然试题列表里面已经说明了这是一道DP的题目，但是正式比赛的时候可不会告诉你题目要用什么算法，因此要先分析一下用什么算法。

首先题目要求的是概率，但好像并没有什么算法是能够直接求概率的。我们可以转化一下思路，概率其实就是一个占比，符合要求的情况数量除以所有的情况数量。所以这个问题就等价为一个求情况数的问题，并且计算后面的情况数是要依赖于前面计算出来的情况数的，因此是一个状态转移的问题，要用动态规划。

动态规划解题步骤：

1. 设置状态，即dp数组；
2. 确定状态转移方程；
3. 代码实现

首先第一步，设置状态，也就是要定义好dp数组。题目中有买的印章数和印章种类两个变量，因此要设置两个未知数，即二维数组dp[i][j]。dp数组的值可以直接定义为概率，也就是说，dp[i][j]表示买i个印章凑齐j种印章数的概率。

在确定状态转移方程之前还有一步，就是要确定边界情况，也就是要先确定一行或者一列，或者某几个值，确保状态转移方程的初始值是有的。

先来看i < j的情况，因为买i个印章最多只能凑齐i种，所以这种情况概率都为0。

再来看j = 1的情况，从最简单的情况开始分析，当i = 1, j = 1时，也就是我买1个印章凑齐1种的情况，肯定是可以的，所以dp[1][1] = 1。

当i继续增加时，也就是买i张凑齐1种的概率，也就是i个印章都是同一种，概率是${(\frac{1}{n})}^{i-1}$。

这样我们就确定了第一列的值，初始状态也就确定了。

之后就要确定状态转移方程了，也就是确定中间状态dp[i][j]，买的第i张，有两种状态，① 跟前面 i - 1 张有重复的，② 跟前面 i - 1 张没有重复的。

① 说明前面 i - 1 张已经凑齐了 j 种，这种情况的概率是$dp[i][j]=dp[i-1][j]\ast (\frac{j}{n})$；
② 说明前面 i - 1 张凑齐了 j - 1 种，这种情况的概率是$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\ast (\frac{n-(j-1)}{n})$。

确定了状态转移方程之后就可以开始写代码了。

Code

Python

if __name__ == '__main__':
    n, m = map(int, input().split())
    
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if j == 1:
                dp[i][j] = (1 / n) ** (i - 1)
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] * (j / n) + dp[i - 1][j - 1] * ((n - j + 1) / n)
    print(f"dp[m][n]:.4f")