TSP问题-可重复访问城市的解法

Posted 2022-06-22 小夥

原TSP问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费），他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线，使总路程（旅费）最小。

这里将原问题改为：每个城市可重复访问，要求使总路程最小。

思路分析：由于城市可以重复访问，从而任何状态下，由城市i到城市j没有路径上的限制，故从城市i到城市j必然选择路程最小的路径来走，可先用Floyd算法求出任意两城市之间的最短路或最小花费，然后通过状压DP来求解。

数学模型：dp[i][v]表示在状态v下，到达城市i所用的最小花费。其中状态v用二进制数来表示，右起第i位表示第i个城市的状态，0为未拜访，1为已拜访。则状态转移方程为：

            dp[i][v]=min(dp[i][v],dp[k][v^(1<<(i-1)]+map[k][i])

其中k从1到n依次取值来得到最小值，map[k][i]表示城市k到城市i的路程，^为异或运算，v^(1<<i-1)将v中第i位置0，即dp[k][v^(1<<(i-1)]表示未访问城市i的状态下，到达城市k的花费。

时间复杂度：设城市个数为n，Floyd预处理为O(n^3)，枚举各种状态的时间复杂度为O(2^n*n^2)，总的时间复杂度即为O(2^n*n^2)，相比于直接枚举的算法的时间复杂度O(n!)，已经有很大进步。

例题：hdu5418（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5418）