数学知识整理：二重积分

Posted 2022-06-20 UQI-LIUWJ

1 二重积分的性质

1.1 f(x,y)在有界闭区域上可积的充分条件&必要条件

• 在有界闭区域D上可积的函数f(x,y)必然是D上的有界函数
• 有界闭区域D上的连续函数或者分片连续函数f(x,y)在D上可积

1.2 线性性质

1.3 积分区域可加

（换言之，区域D被一条曲线分成两个部分区域D1和D2）

1.4 积分不等式

1.5 中值定理

如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，那么在D上至少存在一点，使得，其中σ为区域D的面积

2 二重积分的计算方法

二重积分的计算总是化成累次积分来进行，也就是做一次定积分，再做一次定积分来进行计算。

 

2.1 按区域和形状分类

 

2.2 二重积分简化计算

• 当区域D关于x轴对称时
  • · ,f(x,y)是奇函数
  • ，f(x,y)是偶函数，且D1是D的上半平面或者下半平面
• 当区域D关于y轴对称时
  • · ,f(x,y)是奇函数
  • ，f(x,y)是偶函数，且D1是D的左半平面或者右半平面
• 当区域D关于x轴，y轴都对称时
  •  · ,f(x,y)是奇函数
  • ，f(x,y)是偶函数，且D1是D在任一象限中的部分

1.2.3 举例

 

 

3 二重积分<——>极坐标二重积分

• 对于左边的情况， 
• 对于右边的情况，

3.1 举例

 

 

 4  二重积分的换元

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，如果变换 满足以下三个条件

• 将uv平面上区域D'一一对应到xy平面上的D
• 变换函数x(u,v),y(u,v)在D'上连续，且有连续的一阶偏微商
• 雅可比行列式 在D'上不取零值

则有换元公式

注：可以证明上述三个条件可以适当地放宽：对于（1）和（3），可以允许个别点/个别曲线上不满足；对于（2），可以允许分段连续

4.1 举例

求二重积分  其中区域D是由抛物线 围成的

这里无论有那种次序的累次积分，都需要将D分成几块，比较繁琐。

不过如果我们把曲线边界表示为 

时候，也就是进行变换时，可以迎刃而解。此时

雅可比矩阵

所以原式

 

 

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