[XXI Open Cup,Grand Prix of Tokyo]Ascending Matrix

Posted 2022-06-17 StaroForgin

Ascending Matrix

题解

首先，这道题是要求所有的数列是从上往下，从左往右，都是递增的。
首先从左往右递增，我们可以去考虑它的差分序列，每个点的值就是它前面差分序列的点数嘛。
从上往下递增，我们可以去考虑它差分序列的移动。
我们可以去考虑决定前面$⩽x$，后面$>x$的这个差分点。可以发现，从上往下，这个差分点是单调不左移的，它只会不断右移，并且不会超过下一个差分点。
那我们可以将原序列看成一个网格图，序列上每个数的位置就相当于网格图上的一个方格，每个差分点就是网格图上的一条竖着的边。将竖着的边连在一起，也就构成了网格图上的一条路径。
可以发现，这些路径都是互不跨越的，因为上一个差分点不会超过下一个差分点。
如果我们把左上的顶点看成$(1,1)$，右下的顶点看成$(n+1,m+1)$，那么所有的路径都是从$(n+1,1)$到$(1,m+1)$的。

但如果只是互不跨越的路径的话不好计数呀，我们可以手动将每条路径平移一下，将第$i$条路径的起点平移到$(n+i+1,i+1)$，终点平移到$(i+1,m+i+1)$。
这样的话，原来互不跨越的条件就被转移成了互不相交，显然，我们这个网格图是有向无环图，这不可以$\mathrm{L}\mathrm{G}\mathrm{V}$引理?
但我们确定$(r,c)$上的数为$V$的条件是怎么处理的呢？
我们看看这个条件在网格图上说明了什么，显然，这个格点前面得有恰好$V-1$条路径。
这也就是说明，原图中要有$V-1$条路径与直线$x-y+c-r=0$的交点必须在$(r+1,c+1)$的严格左上方，有$K-V$条路径的交点得在$(r+1,c+1)$的非严格右下方。
平移后的图也就是说要$V-1$条路径在$(r+V,c+V)$的严格左上方，$K-V$条路径要在$(r+V,c+V)$的严格右下方。
其中$(r+V,c+V)$是相对于第$V-1$条路径平移得到的，显然，当且仅当第$V-1$条路径满足条件时，恰好有$V-1$条路径在左上方。而对于后面$K-V$条路径，它们的条件也是当且仅当第$V$条路径满足条件是满足，而第$V$条路径比第$V-1$条路径多移动一步，所以就变成了严格右下方。

考虑有了上面的条件我们怎么建立矩阵，由于$\mathrm{L}\mathrm{G}\mathrm{V}$引理为了容斥是要求线段之间地位平等的，所以不可能每条起点直接算合法路径。但我们可以用一个经典的技巧，对于左上方的点，给它乘上一个$x$的形式变量。
这样的话，我们矩阵上的每个点都是一个一次多项式，我们的行列式也就是一个$K-1$次多项式。其中第$i$项的系数表示有$i$条路径在左上方的方案数。
我们可以考虑插值把这个多项式插出来，毕竟直接解也太麻烦了。

时间复杂度$O\left(k^2(n+m)+k^4\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL,LL> pii;
#define MAXN 100005
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lowbit(x) (x&-x)
const int mo=998244353;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=200000;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-12;
const int orG=3,ivG=332748118;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
    _T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
    x*=f;

int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int n,m,K,r,c,V,fac[1005],inv[1005],ff[1005];
int F[105][105][2];
struct poly
    int c[105];poly()
    void clear()for(int i=0;i<K;i++)c[i]=0;
    int ask(int x)
        int res=0,now=1;
        for(int i=0;i<K;now=1ll*x*now%mo,i++)
            Add(res,1ll*now*c[i]%mo,mo);
        return res;
    
    poly operator + (poly rhs)
        poly res;res.clear();
        for(int i=0;i<K;i++)
            res.c[i]=add(c[i],rhs.c[i],mo);
        return res;
    
    poly operator * (const int rhs)const
        poly res;res.clear();
        for(int i=0;i<K;i++)
            res.c[i]=1ll*rhs*c[i]%mo;
        return res;
    
    poly operator ^ (const int rhs)const
        poly res;res.clear();
        for(int i=0;i<K;i++)res.c[i+1]=c[i];
        for(int i=0;i<K;i++)Add(res.c[i],mo-1ll*rhs*c[i]%mo,mo);
        return res;
    
A,B;
struct matrix
    int c[105][105];matrix()
    int sakura()
        int res=1;
        for(int i=1;i<K;i++)
            int k=i;for(int j=i;j<K;j++)if(c[j][i])k=j;break;
            if(k^i)res=mo-res;for(int j=i;j<K;j++)swap(c[k][j],c[i][j]);
            if(!c[i][i])return 0;int tmp=qkpow(c[i][i],mo-2,mo);
            for(int j=i+1;j<K;j++)if(c[j][i])
                int tp=1ll*c[j][i]*tmp%mo;
                for(int l=i;l<K;l++)
                    Add(c[j][l],mo-1ll*tp*c[i][l]%mo,mo);
            
        
        for(int i=1;i<K;i++)res=1ll*c[i][i]*res%mo;
        return res;
    以上是关于[XXI Open Cup,Grand Prix of Tokyo]Ascending Matrix的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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