HDU 4489 The King’s Ups and Downs（DP + 组合数）

Posted 2022-06-04 AC_Arthur

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思路：我们不妨把n个人的身高设为1~n， 然后从低到高插入队列。 那么将第i个人插入队列的时候就出现了问题， 插入的这个位置需要满足前面两个是高低， 后面两个是低高。

所以我们用DP来记录。 用d[i][0] 表示i个人的队列， 结尾为高低的方法数， d[i][1]表示开头为低高的方法数。  那么假设将第i个人插入， 插入的位置前面有j个人， 后面有i - 1 - j个人， 那么当前方法数就累加d[j][0] * d[i-1-j][1] * c[i-1][j]。 最终求得的是有i个人的时候的所有方法数， 那么怎么递推DP数组d[i][1] 和 d[i][0] 呢，因为开始为低高和结尾为高低的方法数相同且各占总方法数的一半（证明略）， 所以就可以递推了。

细节参见代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const ld eps = 1e-9, PI = 3.1415926535897932384626433832795;
const int mod = 1000000000 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
// & 0x7FFFFFFF
const int seed = 131;
const ll INF64 = ll(1e18);
const int maxn = 25;
int T,n,m,id;
ll c[maxn][maxn],d[maxn][2];
void init() 
    for(int i = 1; i <= 20; i++) 
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++) 
            c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1];
        
    
    d[0][1] = d[0][0] = d[1][0] = d[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 20; i++) 
        ll cur = 0;
        for(int j = 0; j < i; j++) 
            cur += d[j][0] * d[i-j-1][1] * c[i-1][j];
        
        d[i][0] = d[i][1] = cur / 2;
    

int main() 
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--) 
        scanf("%d%d",&id,&n);
        if(n == 1) printf("%d 1\\n",id);
        else printf("%d %I64d\\n",id, d[n][0] * 2);
    
    return 0;