生成函数芝士总结

Posted 2022-06-03 Flame♡

生成函数是用系数来表示一个序列从而表示信息的,也就是说,生成函数的自变量 $x$ 取任何值都没有实际意义

当我们取 $|x|<1$ 时

有 $$\frac{1}{1-x}=1+x^1+x^2+....$$

$$\frac{1}{1+x}=-1-x^1-x^2-....$$

（上述两式证明见组合数学5.5 其中也证明了所有生成函数的定义域是$|x|<1$）

$$\begin{gathered} fib=1+x+2x^2+3x^3+6=5x^4+.... \\ A(x)=1+xA(x)+x^{2}A(x) \\ A(x)=\frac{1}{1-x-x^2} \end{gathered}$$

偷个懒粘一下指数型生成函数

上面是证明

证得$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$
(也就是系数全是1)

当系数是0,1,2,3…时

$$g^{(e)}(x)=0+x+2\frac{x^2}{2!}+.....$$

而$x{e}^x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{(n-1)!}$

和上式相等

当系数是$1,a,a^2,a^3....$ 时

$g^{(e)}(x)=e^{xa}$

当系数是$1,0,1,0....$ 时

$e^{-x}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-x{)}^n}{n!}$

$g^{(e)}(x)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}$

二次剩余

对于一个奇素数 $p$

若有 $n=x^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 称 $n$ 是模 $p$ 意义下的二次剩余

当且仅当存在 $n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1$ 时 二次剩余存在

证明

优秀的二次剩余讲解