算法二叉树学习笔记 - 已知结点数计算可构建出多少种二叉树

Posted 2022-05-26 笑虾

算法【二叉树】学习笔记 - 已知结点数计算可构建出多少种二叉树

• 卡特兰数
• 相关知识点
• • 排列组合公式
  • • 排列 Arrangement
    • 组合 Combination
    • • 分步计算
    • 简化
• 参考资料

题目：已知3个结点可以构造出5种不同的二叉树，那么4个结点可以构造出多少种不同的二叉树？

卡特兰数

公式：C(2n, n) - C(2n, n-1)
代入：C(2*4, 4) - C(2*4, 4-1)
= C(8, 4) - C(8, 3)
= 8*7*6*5 / 4! - 8*7*6 / 3!
= 8*7*6*5 / 1*2*3*4 - 8*7*6 / 1*2*3
= 1680 / 24 - 336 / 6 or (7*2*5 / 1) - (8*7 / 1)
= 70 - 56
= 14

相关知识点

排列组合公式

1. 排列有序 ： 排列相当于排队，ABC站不同的位置，就是不同的排法。
2. 组合无序 ： 组合相当于组队，ABC组一队，BCA组一队，都是他们三个，是同一只队伍。

公式	=分解	说明
A(n, m)	n! / (n-m)!	从n个不相同元素中取出m个进行排列（要考虑顺序）。
C(n, m)	A(n, m) / A(m, m)	从n个不同元素中取出m个进行组合（不考虑顺序）。

排列 Arrangement

A(n, m) = n! / (n-m)! 从n个不相同元素中取出m个排成一列

1. n > m
2. 规定 0! = 1! = 1
3. A(n, m) 如果 n = m ，则 n-m = 0 因为 0! = 1，所以可简化为 n!

组合 Combination

A(n, m) 算出完整的排列有多少种。
A(m, m) 表示每个组合内部可以有多少种排序，无论有多少种，都只能算一种。
所以 A(n, m) / A(m, m) 就得出了组合的种类。

分步计算

C(n, m) = n! / (n-m)! / m!
例：C(5, 3)
= 5! / (5-3)! / 3!
= 5! / 2! / 3!
= 5*4*3*2*1 / 1*2 / 1*2*3
= 5*4* / 1*2 一三项约分
= 20 / 2
= 10

简化

例：C(5, 3)
= 5! / (5-3)! / 3!
= 5! / 2! / 3!
= 5*4*3 / 3! 从题目可直接得出此式。因为 m = 3分子就保留前3次（剩下的 2 * 1 正好和 2! 约掉了）
= 60 / 6
= 10

参考资料

【又快又准作对考研真题】由3个节点可以构出多少种不同的二叉树。含有4 个结点的二叉树有（）种树型
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