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Posted 2022-05-25 StaroForgin

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题解

可怜的我考场上拿了0分
首先看到这道题了，我们容易定义出一个比较简单的$dp$，用$d{p}_{i,j}$表示较大数为$i$，较小的数为$j$的概率。
本来定义到这里就可以了，我们将所有状态的概率直接加起来就可以得到答案了，这里为了方便我们再多定义一个$g{p}_{i,j}$表示到达该状态的期望步数。
然后，我们可以简单地写出它的转移方程式:
$$\begin{gathered} p_{k}d{p}_{i,j}\to d{p}_{i,j+k}/d{p}_{i+k,j} \\ {p}_k(g{p}_{i,j}+d{p}_{i,j})\to g{p}_{i,j+k}/g{p}_{i+k,j} \end{gathered}$$注意，第二个方程的位置必须是加上$d{p}_{i,j}$，因为前面的$g{p}_{i,j}$表示的是每种路径被使用的概率乘上每种路径的长度，扩展一步就是每种情况。
所以这里加上的应该是到达该点的概率，而不是$1$。
由于下一层的值是不会影响上一层的，我们可以先将每一层的$dp$值消元解出后，再去解下一层的方程。
接着方程我们事实上最多也只能优化到$O\left(m{n}^3\right)$，看起来不太像能过的样子，我们考虑优化。

如果真要优化的，显然也就不能用列方程组的方法了。
我们可以考虑一些顺推的$dp$，我们不妨再多定义一个$f_{i,j},g_{i,j}$表示从$i$出发走到第一个大于$i$的点为$i+j$的概率与期望花费。
考虑怎么将这东西快速地预处理出来，定义$h_{i,j},h{p}_{i,j}$表示从$i$出发后不再走大于$j$的点第一次走到$j$概率与期望距离。
我们先枚举从$i$出发走的第一步$k$，将它贡献到$h_{i,i+k}$上，显然这个$i+k$可能比$i$小，也可能比$i$大。
大丈夫です，对于比$i$小的部分，它的$dp$值不是已经预处理出来了吗，它就可以从比较小的$h_j$贡献到较大的$h_k(k>j)$。
这样，我们就能将$<i$出的$h$值转移到$⩾i$处。
那么我们考虑，如何将这个$h$算到我们的$f$值上呢？显然，$h_{i,i}$相当于走了一个环，又走回到了$i$上的概率与期望，而大于$i$的部分会直接贡献到其它$f$值的贡献。
可以计算出$f_{i,j}$对$f_{i,k}/f_{k,i}(k>j)$的贡献为$\frac{h_k}{1-h_i}$，对$g_{i,k}/g_{k,i}$的贡献为$\frac{h{p}_k(1-h_i)+h{p}_i{h}_k}{(1-h_i{)}^2}$。
这样我们就可以在$O\left(n{m}^2\right)$的时间内完成我们的预处理。

有了上面的$f$与$g$，我们自然而然就很容易得到$dp$的转移方法。
显然，我们只需要枚举较小的数下一个变到的比他大的数是什么就行了。
这部分的转移就可以做到$O\left(n{m}^2\right)$。

总时间复杂度$O\left(n{m}^2\right)$。

源码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1055
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double Ld;
typedef pair<int,int> pii;
const LL INF=以上是关于[PKUSC2022]Rating的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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