已知梯形四边的长度求面积
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已知梯形四边的长度求面积
这里给出一些解法：
为了方便，我们不妨记录上边为 u p up up，下边为 d o w n down down，左边长 l l l，右边长为 r r r。
然后我们类似地考虑上面地三角形 △ A D E \\triangle ADE △ADE。
显然三条边的边长为： l , r , ∣ u p − d o w n ∣ l,r,|up-down| l,r,∣up−down∣。
我们记录 x = ∣ u p − d o w n ∣ x=|up-down| x=∣up−down∣。
那么根据海伦公式，我们可以得出：
S △ A D E = p ( p − l ) ( p − r ) ( p − x ) S_\\triangleADE=\\sqrtp(p-l)(p-r)(p-x) S△ADE=p(p−l)(p−r)(p−x)
其中 p = l + r + x 2 p=\\dfracl+r+x2 p=2l+r+x
然后根据三角形面积公式： S △ A D E = x h 2 S_\\triangleADE=\\dfracxh2 S△ADE=2xh
因此，我们得到了三角形的高 h h h(同时也是梯形的高)
h = 2 S △ A D E x h=\\dfrac2S_\\triangleADEx h=x2S△ADE。
然后带入 S △ A D E = p ( p − l ) ( p − r ) ( p − x ) S_\\triangleADE=\\sqrtp(p-l)(p-r)(p-x) S△ADE=p(p−l)(p−r)(p−x)。
则 h = 2 p ( p − l ) ( p − r ) ( p − x ) x h=\\dfrac2\\sqrtp(p-l)(p-r)(p-x)x h=x2p(p−l)(p−r)(p−x)。
所以梯形的面积为：
S = ( u p + d o w n ) h 2 = 2 ( u p + d o w n ) p ( p − l ) ( p − r ) ( p − x ) x S=\\dfrac(up+down)h2=\\dfrac2(up+down) \\sqrtp(p-l)(p-r)(p-x)x S=2(up+down)h=x2(up+down)p(p−l)(p−r)(p−x)
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