SS-CA-APPLE：什么是复变函数？

Posted 2022-04-19 卓晴

 

 

§01 数学原理

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1.1 复变函数

1.1.1 定义

  定义 $G$ 是一个复数 $z=x+iy$ 的集合，如果有一个确定法则存在，按照这一法则，对于集合 $G$ 中的每一个复数 $z$ ，就有一个，或者几个复数 $w=u+iv$ 与之对应，那么称复变数 $w$ 是复变数 $z$ 的函数，简称复变函数，记做 $w=f\left(z\right)$

（1）定义补充说明

• 单值复变函数： $z$ 的一个值，对应 $w=f\left(z\right)$ 是一个值；无特殊说明，缺省的情况下所讨论的复变函数都为单值函数。
• 多值复变函数： $z$ 的一个值，对应 $w=f\left(z\right)$ 具有两个，或者两个以上的值；
• 定义集合：集合 $G$ 成为 $f\left(z\right)$ 的定义集合。在定义集合为平面区域时，也称为定义域。
• 函数值集合：对应 $G$ 中所有 $z$ 的一切 $w$ 所组成的集合 $G^{\ast }$ 成为函数值集合，在函数值集合为平面区域时也称为值域。

1.1.2 二元实变函数

  对于每一个 $z=x+iy$ 和 $w=u+iv$ 都对应两个实数 $x,y$ 以及 $u,v$ 。所以复变函数 $w=f\left(z\right)$ 相当于两个二元实变函数： $$u=u\left(x,y\right),v=v\left(x,y\right)$$

  比如 $w=z^2$ ，令 $z=x+iy,w=u+iv$ 那么 $$u+iv={\left(x+iy\right)}^2=\left(x^2-y^2\right)+2ixy$$ 所以函数 $w=z^2$ 对应两个二元实变函数 $$u=x^2-y^2,v=2xy$$

1.2 函数映射

  如果把复变函数 $w=f\left(z\right)$ 的定义集合 $G$ 所在的平面称为 $z$ 平面，函数值集合 $G^{\ast }$ 所在的平面称为 $w$ 平面。那么函数 $w=f\left(z\right)$ 就定义了从 $z$ 平面中的定义集合到 $w$ 平面的函数值集合的映射（或称变换）。

• 象（映象）： $w$ 平面中的函数值集合 $G^{\ast }$ ；
• 原象： $z$ 平面中的定义集合；

1.3 反函数

  假定函数 $w=f\left(z\right)$ 定义了从定义集合 $G$ 到函数值集