SS-CA-APPLE：如何定义复变函数的极限和连续性？

Posted 2022-04-19 卓晴

 

 

§01 数学原理

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1.1 函数的极限

1.1.1 定义

设函数 $w=f\left(z\right)$ 定义在 $z_0$ 的 去心邻域 $0<\left|z-z_0\right|<\rho$ 内。如果有一确定数 $A$ 存在，对于任意给定的 $\epsilon >0$ ，相应必有一个正数 $\delta \left(\epsilon \right)\left(0<\delta \le \rho \right)$ 使得当 $0<\left|z-z_0\right|<\delta$ 时，有 $$\left|f\left(z\right)-A\right|<\epsilon$$ 那么称 $A$ 为 $f\left(z\right)$ 在 $z$ 趋向于 $z_0$ （ $z\to z_0$ ）时的极限，记做 $\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(t\right)=A$ 或者当 $z\to z_0$ 时， $f\left(z\right)\to A$ 。

▲ 图1.1.1 函数的极限

  复变函数的极限定义与实变函数极限定义之间的差异：

• 复变函数使用了圆形区域替代了实变函数的邻域；
• 定义中 $z\to z_0$ 的方式是任意的，无论什么方式趋近所引起 $f\left(z\right)$ 都趋向于常数 $A$ 。

1.1.2 极限充要条件

  设 $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ ， $A=u_0+i{v}_0$ ， $z_0=x_0+i{y}_0$ ，那么 $\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(z\right)=A$ 的充要条件是 $$\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }u\left(x,y\right)=u_0,\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }v\left(x,y\right)\&$$